Análise complexa/Topologia do plano complexo

Um conjunto ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} \,}$ é dito aberto, se para todo ponto ${\displaystyle z_{0}\in U\,}$, existe um ${\displaystyle \delta >0\,}$ tal que ${\displaystyle \left\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|\leq \delta \right\}\subseteq U}$.

O conjunto ${\displaystyle \left\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|\leq \delta \right\}}$ é chamado de bola aberta centrada em ${\displaystyle z_{0}\,}$ de raio ${\displaystyle \delta \,}$ e é denotado por ${\displaystyle B_{\delta }(z_{0})\,}$.

A bola aberta é um conjunto aberto.

Demonstração

Seja ${\displaystyle z_{0}\in B_{r}(z)\,}$, escolha ${\displaystyle \delta =r-|z-z_{0}|\,}$, devemos mostrar que ${\displaystyle B_{\delta }(z_{0})\subseteq B_{r}(z)\,}$. Para tal seja ${\displaystyle y\in B_{\delta }(z_{0})\,}$, por definição tem-se: ${\displaystyle |y-z_{0}|<\delta \,}$ Logo: ${\displaystyle |y-z|\leq |y-z_{0}|+|z_{0}-z|<\delta +(r-\delta )=r\,}$ Assim, concluímos que ${\displaystyle y\in B_{r}(z)\,}$, o que completa a demonstração.

1. Os conjuntos ${\displaystyle \mathbb {C} }$ e ${\displaystyle \emptyset \,}$ são abertos.
2. A união de uma família arbitrária de conjuntos abertos é um conjunto aberto.
3. A intersecção de uma família finita de conjuntos abertos é um conjunto aberto.

Um conjunto ${\displaystyle F\subseteq \mathbb {C} \,}$ é dito fechado se for o complementar de um conjunto aberto.

1. Os conjuntos ${\displaystyle \mathbb {C} }$ e ${\displaystyle \emptyset \,}$ são fechados.
2. A união de uma família finita de conjuntos fechados é um conjunto fechado.
3. A intersecção de uma família arbitrária de conjuntos fechados é um conjunto fechado.

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