Introdução aos Circuitos Elétricos/Transformações

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Transformações com Números Complexos

Transformação da Forma Algébrica em Polar

Na representação acima, observamos um triângulo retângulo. Então, através do Teorema de Pitágoras, temos:

Z^{2}=a^{2}+b^{2}\Rightarrow Z={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}

E, através do arco-tangente de

{\frac {\mid b\mid }{\mid a\mid }}

, achamos o ângulo

\!\Phi

:

\tan \Phi ={\frac {\mid b\mid }{\mid a\mid }}\Rightarrow \Phi =\arctan {\frac {\mid b\mid }{\mid a\mid }}

O valor de

\!\Phi

deve ser ajustado de acordo com os sinais de a e de b (que indicam o quadrante, no sistema cartesiano, em que se encontra o segmento Z já que o arco-tangente calculado mostra sempre o ângulo no primeiro quadrante).

Resumindo: para transformarmos

\!z=a+j\cdot b

em

{\begin{array}{c}Z\\\end{array}}{\begin{array}{|c}\Phi \\\hline \end{array}}

usamos as seguintes fórmulas:

Z={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}

\Phi =\arctan {\frac {\mid b\mid }{\mid a\mid }}

E achamos o quadrante do ângulo, confirmando o valor de

\!\Phi

.

Exercícios Resolvidos

A FAZER

Transformação da Forma Polar em Algébrica

Para transformarmos

{\begin{array}{c}Z\\\end{array}}{\begin{array}{|c}\Phi \\\hline \end{array}}

(forma polar) em

\!z=a+j\cdot b

(forma algébrica ou cartesiana) usamos a forma trigonométrica de um número complexo, como explicado na página anterior:

z=Z\cdot (\cos \Phi +j\cdot \sin \Phi )

Exercícios Resolvidos

Transformar os seguintes números complexos para a forma algébrica:

a)

z_{1}={\begin{array}{c}12\\\end{array}}{\begin{array}{|c}45^{o}\\\hline \end{array}}

z=Z\cdot (\cos \Phi +j\cdot \sin \Phi )\Rightarrow

\Rightarrow z_{1}=12\cdot (\cos 45^{o}+j\cdot \sin 45^{o})\Rightarrow

\Rightarrow z_{1}=12\cdot ({\frac {\sqrt {2}}{2}}+j\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}})\Rightarrow

\Rightarrow z_{1}=6\cdot {\sqrt {2}}+j\cdot 6\cdot {\sqrt {2}}

b)

z_{2}={\begin{array}{c}12\\\end{array}}{\begin{array}{|c}-315^{o}\\\hline \end{array}}

\Rightarrow z_{2}=12\cdot (\cos -315^{o}+j\cdot \sin -315^{o})\Rightarrow

\Rightarrow z_{2}=12\cdot ({\frac {\sqrt {2}}{2}}+j\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}})\Rightarrow

\Rightarrow z_{2}=6\cdot {\sqrt {2}}+j\cdot 6\cdot {\sqrt {2}}

c)

z_{3}={\begin{array}{c}12\\\end{array}}{\begin{array}{|c}-45^{o}\\\hline \end{array}}

z=Z\cdot (\cos \Phi +j\cdot \sin \Phi )\Rightarrow

\Rightarrow z_{3}=12\cdot (\cos -45^{o}+j\cdot \sin -45^{o})\Rightarrow

\Rightarrow z_{3}=12\cdot ({\frac {\sqrt {2}}{2}}+j\cdot {\frac {-{\sqrt {2}}}{2}})\Rightarrow

\Rightarrow z_{3}=6\cdot {\sqrt {2}}-j\cdot 6\cdot {\sqrt {2}}

d)

z_{4}={\begin{array}{c}20\\\end{array}}{\begin{array}{|c}90^{o}\\\hline \end{array}}

A FAZER

FAZER COMPROVAÇÃO GRÁFICA

e)

z_{5}={\begin{array}{c}16\\\end{array}}{\begin{array}{|c}225^{o}\\\hline \end{array}}

A FAZER

FAZER COMPROVAÇÃO GRÁFICA

Lista B de Exercícios

Exercício 1

Transforme para a forma polar:

A FAZER

Exercício 2

Transforme para a forma cartesiana (algébrica):

a)

z_{1}={\begin{array}{c}10\\\end{array}}{\begin{array}{|c}0^{o}\\\hline \end{array}}

b)

z_{2}={\begin{array}{c}10\\\end{array}}{\begin{array}{|c}90^{o}\\\hline \end{array}}

c)

z_{3}={\begin{array}{c}10\\\end{array}}{\begin{array}{|c}180^{o}\\\hline \end{array}}

d)

z_{4}={\begin{array}{c}10\\\end{array}}{\begin{array}{|c}270^{o}\\\hline \end{array}}

e)

z_{5}={\begin{array}{c}10\\\end{array}}{\begin{array}{|c}-90^{o}\\\hline \end{array}}

f)

z_{6}={\begin{array}{c}10\\\end{array}}{\begin{array}{|c}45^{o}\\\hline \end{array}}

g)

z_{7}={\begin{array}{c}20\\\end{array}}{\begin{array}{|c}{\frac {\pi }{4}}\\\hline \end{array}}

h)

z_{8}={\begin{array}{c}15\\\end{array}}{\begin{array}{|c}{\frac {5\cdot \pi }{4}}\\\hline \end{array}}