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Vamos agora demonstrar que as regras do calculo algébrico têm logar para estas especies de expoentes.

105. Expoentes negativos. 1.^o Multiplicação.

${\displaystyle a^{m}\times a^{-n}=a^{m}\times {\frac {1}{a^{n}}}={\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}\,}$,

${\displaystyle a^{-m}\times a^{-n}={\frac {1}{a^{m}}}\times {\frac {1}{a^{n}}}={\frac {1}{a^{m+n}}}=a^{-m-n}\,}$,

2.^° Divisão.

${\displaystyle a^{-m}:a^{n}={\frac {1}{a^{m}}}:a^{n}={\frac {1}{a^{m+n}}}=a^{-m-n}\,}$,

${\displaystyle a^{m}:a^{-n}=a^{m}:{\frac {1}{a^{n}}}=a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}\,}$,

${\displaystyle a^{-m}:a^{-n}={\frac {1}{a^{m}}}:{\frac {1}{a^{n}}}={\frac {1}{a^{m}}}\times {\frac {a^{n}}{1}}={\frac {a^{n}}{a^{m}}}=a^{n-m}=a^{-m+n}\,}$,

3.^° Elevação a potencias.

${\displaystyle (a^{-m})^{n}=({\frac {1}{a^{m}}})^{n}={\frac {1}{a^{mn}}}=a^{-mn}\,}$,

${\displaystyle (a^{-m})^{-n}=({\frac {1}{a^{m}}})^{-n}={\frac {1}{({\frac {1}{a^{m}}})^{n}}}={\frac {1}{\frac {1}{a^{mn}}}}=a^{mn}\,}$,

4.^° Extracção oe raízes.

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{-m}}}={\sqrt[{n}]{\frac {1}{a^{m}}}}={\frac {1}{\sqrt[{n}]{a^{m}}}}={\frac {1}{a^{\frac {m}{n}}}}=a^{-{\frac {m}{n}}}\,}$,

106. Expoentes fraccionarios. 1.^° Multiplicação.

${\displaystyle a^{\frac {m}{n}}\times a^{p}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}\times a^{p}=(n^{o}96,2^{o})={\sqrt[{n}]{a^{m}\times a^{np}}}\,}$

${\displaystyle ={\sqrt[{n}]{a^{m+np}}}=a^{\frac {m+np}{n}}=a^{{\frac {m}{n}}+p}\,}$