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cional, é necessario que desappareça o termo, que contém o factor ${\displaystyle {\sqrt {d}}}$, qualquer que seja ${\displaystyle d}$; e isto exige que seja

${\displaystyle c-a=0}$, ou ${\displaystyle c=a}$.

Então a equação proposta converte-se em ${\displaystyle a+{\sqrt {b}}=a+{\sqrt {d}}}$, ou ${\displaystyle {\sqrt {b}}={\sqrt {d}}}$,

o que prova o principio. Posto isto, seja

${\displaystyle {\sqrt {a+{\sqrt {b}}}}={\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}}$ .............(1),

sendo ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ quantidades racionaes, que temos de determinar, se for possivel. Elevando ao quadrado, temos

${\displaystyle a+{\sqrt {b}}=x+y+2{\sqrt {xy}}}$,

d'onde, em virtude do principio antecedente,

${\displaystyle x+y=a;{\sqrt {b}}=2{\sqrt {xy}}}$, ou ${\displaystyle b=4xy}$, ou ${\displaystyle xy={\frac {b}{4}}}$.

Mas, conhecida a somma e o producto das quantidades ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$, sabemos já que estas duas quantidades são as raizes da equação do segundo grau

${\displaystyle z^{2}-az+{\frac {b}{4}}=0}$;

e como esta equação dá

${\displaystyle z={\frac {a}{2}}+-{\sqrt {{\frac {a^{2}}{4}}-{\frac {b}{4}}}}={\frac {a}{2}}+-{\frac {\sqrt {a^{2}-b}}{2}}={\frac {a+-{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}}$,

será *******

d'onde se vê que, para x e y serem racionaes, é necessário que a* — b seja um quadrado perfeito.

Substituindo estes valores em (1), temos a fórmula de trans- formação

m "dg—|—+v—2--'