Valor esperado

Em estatística, especificamente em teoria das probabilidades, o valor esperado, também chamado esperança matemática ou expectância, de uma variável aleatória é a soma do produto de cada probabilidade de saída da experiência pelo seu respectivo valor. Isto é, representa o valor médio "esperado" de uma experiência se ela for repetida muitas vezes. Note-se que o valor em si pode não ser esperado no sentido geral; pode ser improvável ou impossível. Se todos os eventos tiverem igual probabilidade o valor esperado é a média aritmética.

Para uma variável aleatória discreta X com valores possíveis ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\ldots }$ e com as suas probabilidades representadas pela função ${\displaystyle p(x_{i})}$, o valor esperado calcula-se pela série:

${\displaystyle E[X]=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}p(x_{i})}$

desde que a série seja convergente.

Para uma variável aleatória contínua X o valor esperado calcula-se mediante o integral de todos os valores da função de densidade ${\displaystyle f(x)}$:

${\displaystyle E[X]=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)dx}$

Generalizando, seja g uma função que toma valores no espaço amostral de X. Então temos:

${\displaystyle E[g(X)]=\sum _{i=1}^{\infty }g(x_{i})p(x_{i})}$

e

${\displaystyle E[g(X)]=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)f(x)dx}$

Deve-se notar que, no caso geral, ${\displaystyle \mathbf {E} }$ não comuta com a função g, ou seja:

${\displaystyle E[g(X)]\neq g(E[X])}$

Para o caso mais geral de ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ser uma variável aleatória de mais de uma dimensão, e com ${\displaystyle \mathbf {g} }$ assumindo valores em um espaço vetorial normado, temos:

${\displaystyle E[\mathbf {g} (\mathbf {X} )]=\sum _{i=1}^{\infty }p(\mathbf {x_{i}} )\mathbf {g} (\mathbf {x_{i}} )}$

e

${\displaystyle E[\mathbf {g} (\mathbf {X} )]=\int _{\Omega }\mathbf {g} dP}$, em que a integral de Lebesgue é usada.

• a variável aleatória X dada por p(X = -1) = p(X = 1) = 1/2 tem valor esperado 0.
• a variável aleatória X dada por ${\displaystyle p(X=(-10)^{n})=(1/2)^{n}}$ para n = 1, 2, 3, ... não tem valor esperado.
• Seja um vetor aleatório Y de dimensão nX1, cujos componentes são as variáveis aleatórias ${\displaystyle Y_{1},...,Y_{n}}$. A esperança de Y, ${\displaystyle E[Y]}$, é um vetor nX1 cujos componentes são as esperanças das variáveis aleatórias que compunham Y. Ou seja,

${\displaystyle Y={\begin{bmatrix}Y_{1}\\\vdots \\Y_{n}\end{bmatrix}}\rightarrow E[Y]={\begin{bmatrix}E[Y_{1}]\\\vdots \\E[Y_{n}]\end{bmatrix}}}$.

Nas seguintes propriedades, ${\displaystyle X,Y}$ são variáveis aleatórias, ${\displaystyle a,b,c}$ são constantes.

${\displaystyle E(a)=a}$

${\displaystyle E(a+X)=a+E(X)}$

${\displaystyle E(bX)=bE(X)}$

${\displaystyle E(a+bX)=a+bE(X)}$

Sejam: x o vetor aleatório N X 1 com valor esperado E(X) e variância ${\displaystyle \sigma ^{2}\cdot I}$ ; A uma matriz quadrada genérica de dimensão N x X; tr(A) o traço da matriz A. Então, a esperança da variável ao quadrado será:

${\displaystyle E(X^{2})=E(x^{T}Ax)=Var(X)\cdot tr(A)+[E(X)]^{T}\cdot A\cdot E(X)}$

E para duas variáveis aleatórias:

${\displaystyle E(X+Y)=E(X)+E(Y)}$

${\displaystyle E(a+bX+cY)=a+bE(X)+cE(Y)}$

Estas propriedades podem ser generalizadas para qualquer número de variáveis aleatórias.

O valor esperado de uma combinação linear de variáveis aleatórias é a combinação linear dos seus valores esperados:

${\displaystyle E[aX+bY]=aE[X]+bE[Y]}$

Por esse motivo, a função E[] que associa a cada variável aleatória o seu valor esperado é um operador linear, chamado de operador esperança.

No caso geral, temos que

${\displaystyle E[XY]\neq E[X]E[Y]}$

No caso particular de X e Y serem variáveis aleatórias independentes, temos que:

${\displaystyle E[XY]=E[X]E[Y]}$

Seja uma variável aleatória ${\displaystyle X:{\color {Red}\Omega }\rightarrow \mathbb {R} }$ e uma sigma-álgebra ${\displaystyle {\color {Magenta}\tau }}$ no espaço amostral ${\displaystyle {\color {Red}\Omega }}$. A esperança condicional de X, dado ${\displaystyle {\color {Magenta}\tau }}$, é a variável aleatória ${\displaystyle Z:{\color {Red}\Omega }\rightarrow \mathbb {R} }$ tal que

${\displaystyle Z=E\left[X|{\color {Magenta}\tau }\right]}$^[1] ${\displaystyle =\sum _{i=1}^{n}x_{i}P\left[X=x_{i}|{\color {Magenta}\tau }\right]}$.^[2]

Esta variável Z tem as seguintes propriedades:

• Z não contém mais informação que a contida em ${\displaystyle {\color {Magenta}\tau }:\sigma \left(Z\right)\subset {\color {Magenta}\tau }}$. Ou seja, a variável aleatória (que é sempre uma função) ${\displaystyle \varpi \rightarrow Z\left(\varpi \right)}$ é mensurável com relação a ${\displaystyle {\color {Magenta}\tau }}$ (=constante em qualquer subconjunto da partição correspondente a ${\displaystyle {\color {Magenta}\tau }}$) ^[1]
• Z satisfaz a relação ${\displaystyle E(X(\varpi ).I_{A})}$ ${\displaystyle =E\left[Z\left(\varpi \right).I_{A}\right]\forall A\in {\color {Magenta}\tau }}$, onde ${\displaystyle I_{A}}$ é uma variável indicadora, que vale 1 se ${\displaystyle \varpi \in A}$ e 0 se ${\displaystyle \varpi \not \in A}$.

Referências