Teoria das probabilidades

Teoria das probabilidades
Axiomas de probabilidade
Espaço de probabilidade Espaço amostral Evento primário Evento Variável aleatória Medida de probabilidade
Evento complementar Eventos mutuamente exclusivos Probabilidade conjunta Probabilidade marginal Probabilidade condicional
Independência Independência condicional Lei da probabilidade total Lei dos grandes números Teorema de Bayes Desigualdade de Boole
Diagrama de Venn Diagrama de árvore

A teoria das probabilidades é o estudo matemático das probabilidades. Pierre Simon Laplace é considerado o fundador da teoria das probabilidades.^[1]

Os teoremas de base das probabilidades podem ser demonstrados a partir dos axiomas de probabilidade e da teoria de conjuntos.

Os teoremas seguintes supõem que o universo Ω é um conjunto finito, o que nem sempre é o caso, como por exemplo no caso do estudo de uma variável aleatória que segue uma distribuição normal.

1. A soma das probabilidades de todos os eventos elementares é igual a 1.
2. Para todos os eventos arbitrários A₁ e A₂, a probabilidade de os eventos se realizarem simultaneamente é dada pela soma das probabilidades de todos os eventos elementares incluídos tanto em A₁ como em A₂. Se a intersecção é vazia, então a probabilidade é igual a zero.
3. Para todos os eventos arbitrários A₁ e A₂, a probabilidade de que um ou outro evento se realize é dada pela soma das probabilidades de todos os eventos elementares incluídos em A₁ ou A₂.

As fórmulas seguintes exprimem matematicamente as propriedades acima:

${\displaystyle \sum _{\omega \in \Omega }P\left(\left\{\omega \right\}\right)=P\left(\bigcup _{\omega \in \Omega }\left\{\omega \right\}\right)=1}$

${\displaystyle P\left[A_{1}\cap A_{2}\right]=\sum _{\omega \in A_{1}\cap A_{2}}P\left(\left\{\omega \right\}\right)}$

${\displaystyle P\left[A_{1}\cup A_{2}\right]=\sum _{\omega \in A_{1}\cup A_{2}}P\left(\left\{\omega \right\}\right)}$

Eventos mutuamente exclusivos são aqueles cuja ocorrência de um elimina a possibilidade de ocorrência do outro. Neste caso a probabilidade de ocorrência de um ou outro evento é expressa por:

${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)}$

Podemos estimar a probabilidade de nascer um menino de olhos castanhos ou uma menina de olhos azuis, dadas as probabilidade de cada um dos dois eventos:

${\displaystyle P(A)=P(menino\ de\ olhos\ castanhos)=3/8}$

${\displaystyle P(B)=P(menina\ de\ olhos\ azuis)=1/8}$

Como é impossível nascer uma criança que seja ao mesmo tempo um menino de olhos castanhos e uma menina de olhos azuis, estes são eventos mutuamente exclusivos, e podemos proceder usando a fórmula citada acima:

${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)=3/8+1/8=1/2}$

As probabilidades teóricas são utilizadas nessas situações em que o espaço amostral apresenta resultados conhecidos e com probabilidades iguais de ocorrer. Imagine um lançamento de um dado comum. Mesmo que todos os resultados tenham a mesma chance de ocorrer,o resultado que será observado é imprevisível. O lançamento de dado comuns é um experimento aleatório.

• Epistemologia bayesiana
• Limite de Chernoff

Referências