Regra de Cramer

A regra de Cramer é um teorema em álgebra linear, que dá a solução de um sistema de equações lineares em termos de determinantes. Recebe este nome em homenagem a Gabriel Cramer (1704 - 1752).^[1][2]

Se ${\displaystyle A{\vec {x}}={\vec {b}}}$ é um sistema de ${\displaystyle n}$ equações e ${\displaystyle n}$ incógnitas. (Onde ${\displaystyle A}$ é a matriz de coeficientes do sistema e o seu determinante é diferente de zero, ${\displaystyle {\vec {x}}}$ é o vetor coluna das incógnitas e ${\displaystyle {\vec {b}}}$ é o vetor coluna dos termos independentes)

Então ${\displaystyle \forall j,1\leq j\leq n}$, a solução do sistema ${\displaystyle x_{j}}$ é dada por:

${\displaystyle x_{j}={\left|A_{j}\right| \over \left|A\right|}={det(A_{j}) \over det(A)}}$

Em que Aj é a matriz que se obtém da matriz A substituindo a coluna j pela coluna dos termos independentes b.

Sejam os vetores ${\displaystyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}}$ e ${\displaystyle {\vec {b}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}}$ e a matriz ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}}$.

Seja ainda a matriz ${\displaystyle A_{j}}$, obtida pela substituição da coluna ${\displaystyle j}$ pelo vetor ${\displaystyle {\vec {b}}}$, tal que

${\displaystyle A_{j}={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1j-1}&b_{1}&a_{1j+1}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&\ddots &&&&&\vdots \\\vdots &&\ddots &&&&\vdots \\\vdots &&&\ddots &&&\vdots \\\vdots &&&&\ddots &&\vdots \\\vdots &&&&&\ddots &a_{n-1n}\\a_{n1}&\cdots &a_{nj-1}&b_{n}&a_{nj+1}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}}$.

Usando as propriedades da multiplicação de matrizes:

${\displaystyle A{\vec {x}}={\vec {b}}\Leftrightarrow A^{-1}A{\vec {x}}=A^{-1}{\vec {b}}\Leftrightarrow I{\vec {x}}=A^{-1}{\vec {b}}\Leftrightarrow {\vec {x}}=A^{-1}{\vec {b}}}$

então:

${\displaystyle {\vec {x}}=A^{-1}{\vec {b}}={\frac {(\operatorname {Adj} A)}{\left|A\right|}}{\vec {b}}}$

Sejam:

${\displaystyle A^{-1}{\vec {b}}=p_{jk}}$

${\displaystyle (\operatorname {Adj} A)={\frac {A_{pl}^{\prime }}{A_{pl}^{\prime }}}=A_{lp}}$

Portanto:

${\displaystyle A^{-1}{\vec {b}}=p_{jk}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {A_{ji}^{\prime }}{\left|A\right|}}b_{ik}={\frac {\sum _{i=1}^{n}A_{ij}b_{i}}{\left|A\right|}}=_{\rm {(1)}}{\left|A_{j}\right| \over \left|A\right|}}$

(1) Recordando a definição de determinante, o somatório definido acumula a multiplicação do elemento adjunto o cofator da posição ij, com o elemento i-ésimo do vetor B (que é precisamente o elemento i-ésimo da coluna j, na matriz ${\displaystyle A_{j}}$

Um bom exemplo é a resolução de um simples sistema de equações 2x2:

Dado

${\displaystyle 3x+1y=9\,}$

${\displaystyle 2x+3y=13\,}$

que em forma matricial é:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&1\\2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}9}\\{\color {red}13}\end{bmatrix}}}$

x e y podem ser calculados usando a regra de Cramer

${\displaystyle x={\frac {\begin{vmatrix}{\color {red}9}&1\\{\color {red}13}&3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&1\\2&3\end{vmatrix}}}={9*3-1*13 \over 3*3-1*2}=2}$

${\displaystyle y={\frac {\begin{vmatrix}3&{\color {red}9}\\2&{\color {red}13}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&1\\2&3\end{vmatrix}}}={3*13-9*2 \over 3*3-1*2}=3}$

Referências

• Callioli, Carlos A.; Domingues, Hygino H.; Costa, Roberto C.F. (2003). Álgebra Linear e Aplicações. [S.l.]: Atual. 352 páginas. ISBN 8570562977 
• Boldrini; Costa e Fiqueiredo; Wetzler (1986). Álgebra Linear 3ª ed. [S.l.]: Harbra. 412 páginas. ISBN 9788529402024 
• Leon, Stevan J. (2011). Álgebra Linear e Suas Aplicações 8ª ed. [S.l.]: LTC. 504 páginas. ISBN 8521611560 

• «Calculadora Online (em inglês) para solucionar um sistema de equações lineares usando a Regra de Cramer» 

• Uma Aplicação Errônea da Regra de Cramer