Equação de Laplace

Equação de Laplace, em matemática, é uma equação diferencial parcial cujo nome honra seu criador, Pierre Simon Laplace. Trata-se de uma equação diferencial elíptica de alta relevância, pois é descritora de comportamentos em vários campos da ciência, como, por exemplo, a astronomia, o eletromagnetismo, a mecânica dos fluidos, formulando-lhes as funções potencial gravitacional, elétrica, fluídica, entre outras aplicações. Com efeito, a teoria geral de soluções para a equação de Laplace é conhecida como teoria do potencial.

Em um conjunto aberto ${\textstyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$, a equação de Laplace é definida por:^[1]

${\displaystyle \Delta f=0}$

onde, ${\textstyle \Delta }$ denota o operador de Laplace (ou, laplaciano):

${\displaystyle \Delta f:=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}^{2}}}}$

Aqui, a incógnita ${\textstyle f}$ é uma função de ${\textstyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ em ${\textstyle \mathbb {R} .}$ Uma tal função ${\textstyle f}$ é dita ser harmônica, se é solução da equação de Laplace e é duas vezes continuamente diferenciável, i.e. ${\textstyle \Delta f=0}$ e ${\textstyle f\in C^{2}(U,~\mathbb {R} )}$. Em muitos textos, o operador laplaciano é denotado por ${\textstyle \nabla ^{2}}$. Esta notação é motivada pelo fato de que ${\textstyle \Delta =\nabla \cdot \nabla }$, onde ${\textstyle \nabla }$ denota o gradiente.

Em duas dimensões, i.e. no espaço euclidiano ${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$, a equação de Laplace toma a forma^[2] (em coordenadas cartesianas):

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=0}$

Em coordenadas polares ${\textstyle (r,~\theta )}$, a equação torna-se:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}g}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial g}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}g}{\partial \theta ^{2}}}=0}$

Para obter esta equação faz-se as mudanças de variáveis ${\textstyle x=r{\text{cos }}\theta }$, ${\textstyle y=r{\text{sen }}\theta }$ e ${\textstyle g(r,\theta )=f(r{\text{cos }}\theta ,r{\text{sen }}\theta )}$.

Em três dimensões, o problema consiste em determinar funções reais ${\textstyle f}$ duplamente diferenciáveis, de variáveis reais ${\textstyle x}$, ${\textstyle y}$ e ${\textstyle z}$, tais que:

- em coordenadas cartesianas

${\displaystyle {\partial ^{2}f \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}=0.}$

- em coordenadas cilíndricas,

${\displaystyle {1 \over \rho }{\partial \over \partial \rho }\left(\rho {\partial f \over \partial \rho }\right)+{1 \over \rho ^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}=0}$

- em coordenadas esféricas,

${\displaystyle {1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \varphi }{\partial \over \partial \varphi }\left(\sin \varphi {\partial f \over \partial \varphi }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\varphi }{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}=0}$

A função ${\textstyle \Phi :\mathbb {R} ^{n}-\{0\}\to \mathbb {R} }$ definida por:

${\displaystyle \Phi (x)=\left\{{\begin{array}{rr}-{\frac {1}{2\pi }}\ln |x|&,n=2\\{\frac {1}{n(n-2)\alpha (n)}}{\frac {1}{|x|^{n-2}}}&,n\geq 3\end{array}}\right.}$

é chamada de solução fundamental da equação de Laplace.^[1] Aqui, ${\textstyle \alpha (n)}$ denota o volume da bola unitária em ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$. Verifica-se, por substituição direta, que ${\textstyle \Delta \Phi =0}$ em ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}-\{0\}}$.

A equação de Laplace deve ser complementada com condições de contorno.

Quando como condição de contorno é especificado o valor da função sobre o contorno ${\textstyle \partial D}$ do domínio ${\textstyle D}$, esta é denominada condição de contorno de Dirichlet:

${\displaystyle {\begin{array}{rclcl}\Delta \varphi &=&0,\quad &x\in D\\\varphi &=&g,&x\in \partial D\end{array}}}$.

Como consequência do princípio do máximo forte para funções harmônicas, mostra-se que se ${\textstyle D}$ é conexo, ${\textstyle \varphi \in C^{2}(D)\cap C({\bar {D}})}$ e ${\textstyle g\in C(\partial D)}$ é uma função não-negativa (não-positiva), então ${\textstyle \varphi }$ é não-negativa (não-positiva) em ${\textstyle D}$. Como consequência, existe no máximo uma solução para o problema de Dirichlet sobre tais hipóteses.^[1]

Observamos que a unicidade de solução para o problema de Dirichlet pode ser garantida mesmo sem a hipótese de conexidade sobre ${\textstyle D}$. Para tanto, veja condição de contorno de Dirichlet para equação de Poisson.

Se ${\textstyle u\in C^{2}({\bar {D}})}$ é solução do problema de Dirichlet acima, então:^[1]

${\displaystyle \varphi (x)=-\int _{\partial D}g(y){\frac {\partial G(x,y)}{\partial \nu }}(x,y)\,dS(y)}$

onde, ${\textstyle \nu }$ é a normal unitária exterior a ${\textstyle \partial D}$ e ${\textstyle \partial G(x,y)/\partial \nu }$ é a derivada normal da função de Green:

${\displaystyle G(x,y)=\Phi (y-x)-\phi ^{x}(y),\quad \forall x,y\in D,~x\neq y.}$

Aqui, ${\textstyle \Phi }$ é a solução fundamental (veja acima) e, para cada ${\textstyle x}$, ${\textstyle \phi ^{x}=\phi ^{x}(y)}$ é solução de:

${\displaystyle {\begin{array}{rclcl}\Delta \phi ^{x}&=&0,\quad &x\in D\\\phi ^{x}&=&\Phi (y-x),&x\in \partial D\end{array}}}$

A fórmula de representação acima depende da função de Green ${\textstyle G(x,y)}$. Em alguns casos esta função é conhecida. Se ${\textstyle D=B(0,r)=\{x:~\|x\|<r\}}$, então:^[1]

${\displaystyle G(x,y)={\frac {r^{2}-\|x\|^{2}}{n\alpha (n)r}}{\frac {1}{\|x-y\|^{n}}}}$

a qual é conhecida como núcleo de Poisson para a bola ${\textstyle B(0,r)}$. De fato, podemos mostrar que se ${\textstyle g\in C(\partial B(0,r))}$, então:^[1]

${\displaystyle \varphi (x)=-\int _{\partial B(0,r)}g(y){\frac {\partial G(x,y)}{\partial \nu }}(x,y)\,dS(y)=-{\frac {r^{2}-\|x\|^{2}}{n\alpha (n)r}}\int _{\partial B(0,r)}{\frac {g(y)}{\|x-y\|^{n}}}dS(y),\quad \forall x\in B(0,r)}$

é solução do problema de Dirichlet no sentido que ${\textstyle \Delta \varphi =0}$ e:

${\displaystyle \lim _{\begin{array}{cc}x\to y\\x\in B(0,r)\end{array}}\varphi (x)=g(y),\quad \forall y\in \partial B(0,r).}$

Quando como condição de contorno é especificado a derivada normal função incógnita sobre o contorno ${\textstyle \partial D}$ do domínio ${\textstyle D}$, esta é denominada condição de contorno de Neumann:

Neste caso o valor da derivada normal da função é especificado sobre o contorno:

${\displaystyle {\begin{array}{rclcl}\triangle \varphi &=&0,\quad &x\in D\\{\frac {\partial }{\partial \eta }}\varphi &=&g,&x\in \partial D\end{array}}.}$

Uma condição de existência pode ser encontrada integrando a equação em todo o domínio ${\textstyle D}$ e aplicando a primeira identidade de Green:

${\displaystyle 0=\int _{D}0dx=\int _{D}\triangle \varphi dx=\int _{\partial D}{\frac {\partial }{\partial \eta }}\varphi dS(x)=\int _{\partial D}gdS(x)}$

Referências

• Equação de Poisson
• Função harmônica