Aerofólio

Na teoria do perfil fino, a largura (espessura) do perfil (2D) é assumida como desprezável, e o próprio perfil é substituído por uma lâmina 1D ao longo da sua linha de curvatura média (camber), orientada ao ângulo de ataque α. Seja a posição ao longo da lâmina x, variando de 0 no bordo de ataque até c no bordo de fuga; assume-se que a curvatura do perfil, dy⁄dx, é suficientemente pequena para que não seja necessário distinguir entre x e a posição relativa à fuselagem.^[9][10]

O fluxo através do perfil gera uma circulação em torno da lâmina, que pode ser modelada como uma folha de vórtice de força variável com a posição γ(x). A condição de Kutta implica que γ(c)=0, mas a força é singular no bordo de ataque, com γ(x)∝1⁄√x para x ≈ 0.^[11] Se o fluxo livre V tem densidade ρ, então o teorema de Kutta-Joukowski estabelece que a força de sustentação total F é proporcional a^[12][13] $${\displaystyle \rho V\int _{0}^{c}\gamma (x)\,dx}$$ e o seu momento M em relação ao bordo de ataque é proporcional a^[11] $${\displaystyle \rho V\int _{0}^{c}x\;\gamma (x)\,dx.}$$

Pela lei de Biot-Savart, a vorticidade γ(x) produz um campo de fluxo $${\displaystyle w(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{c}{\frac {\gamma (x')}{x-x'}}\,dx'{\text{,}}}$$ orientado normalmente ao perfil em x. Como o perfil é uma superfície impermeável, o fluxo ${\displaystyle w(x)}$ deve equilibrar um fluxo inverso de V. Pela aproximação de pequenos ângulos, V está inclinado num ângulo α-dy⁄dx em relação à lâmina na posição x, e a componente normal é correspondentemente (α-dy⁄dx)V. Assim, γ(x) deve satisfazer a equação integral de convolução $${\displaystyle \left(\alpha -{\frac {dy}{dx}}\right)V=-w(x)=-{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{c}{\frac {\gamma (x')}{x-x'}}\,dx'{\text{,}}}$$ que a determina de forma única em termos de quantidades conhecidas.^[12][14]

Uma solução explícita pode ser obtida primeiro através da mudança de variáveis $${\displaystyle x=c\cdot {\frac {1+\cos(\theta )}{2}},}$$ e depois expandindo tanto dy⁄dx como γ(x) como uma série de Fourier adimensionalizada em θ com um termo principal modificado:$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dy}{dx}}=A_{0}+A_{1}\cos(\theta )+A_{2}\cos(2\theta )+\dots \\&\gamma (x)=2(\alpha +A_{0})\left({\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}\right)+2A_{1}\sin(\theta )+2A_{2}\sin(2\theta )+\dots {\text{.}}\end{aligned}}}$$ A sustentação e o momento resultantes dependem apenas dos primeiros termos desta série.^[15]

O coeficiente de sustentação satisfaz $${\displaystyle C_{L}=2\pi \left(\alpha +A_{0}+{\frac {A_{1}}{2}}\right)=2\pi \alpha +2\int _{0}^{\pi }{{\frac {dy}{dx}}\cdot (1+\cos \theta )\,d\theta }}$$ e o coeficiente de momento^[16] $${\displaystyle C_{M}=-{\frac {\pi }{2}}\left(\alpha +A_{0}+A_{1}-{\frac {A_{2}}{2}}\right)=-{\frac {\pi }{2}}\alpha -\int _{0}^{\pi }{{\frac {dy}{dx}}\cdot \cos(\theta )(1+\cos \theta )\,d\theta }{\text{.}}}$$ O momento em relação ao ponto de 1/4 da corda será, portanto, $${\displaystyle C_{M}(1/4c)=-\pi /4(A_{1}-A_{2}){\text{.}}}$$ Daqui decorre que o centro de pressão está atrás do ponto de "quarto de corda" 0.25c, por $${\displaystyle \Delta x/c=\pi /4((A_{1}-A_{2})/C_{L}){\text{.}}}$$ O centro aerodinâmico é a posição na qual o momento de arfagem M′ não varia com uma mudança no coeficiente de sustentação:^[12] $${\displaystyle {\frac {\partial (C_{M'})}{\partial (C_{L})}}=0{\text{.}}}$$ A teoria do perfil fino mostra que, em fluxo não viscoso bidimensional, o centro aerodinâmico está na posição de um quarto da corda.