Joseph Liouville

Em uma série de artigos em 1833, Liouville estabeleceu a existência de integrais não elementares e um critério para integração em termos finitos, isto é, em termos de funções elementares.^[1][3]

Em 1838, Liouville publicou um método para estabelecer a existência de soluções para equações diferenciais ordinárias de segunda ordem envolvendo aproximações sucessivas, posteriormente associado ao nome de Émile Picard, que apresentou uma abordagem mais geral no início da década de 1890.^[4]

Em álgebra, Liouville foi um dos primeiros a reconhecer a importância das contribuições do falecido Évariste Galois, cujo trabalho lhe foi encaminhado por Auguste Chevalier, amigo de Galois.^[5] Liouville editou e publicou a obra de Galois em seu próprio periódico em 1846, após o que a Teoria de Galois atraiu a atenção de muitos matemáticos, entre eles Paolo Ruffini, Joseph-Alfred Serret e Augustin-Louis Cauchy.^[4]

As pesquisas sobre soluções de equações algébricas estimularam o interesse em números irracionais algébricos e transcendentes.^[4] Em 1844,^[6] Liouville foi o primeiro a provar a existência de números transcendentes. Fez isso demonstrando alguns resultados sobre a aproximação de irracionais algébricos por números racionais e estabelecendo uma desigualdade que serviu como critério de transcendência.^[4] Em seguida, forneceu um exemplo explícito. Demonstrou que qualquer número da forma

${\displaystyle {\frac {a_{1}}{10}}+{\frac {a_{2}}{10^{2!}}}+{\frac {a_{3}}{10^{3!}}}+\cdots ,}$

em que os ${\displaystyle a_{i}}$ são inteiros de 0 a 9, é transcendente.^[4]

A função de Liouville, um conceito importante na teoria dos números, recebeu seu nome em sua homenagem.

Em seu trabalho sobre integrais elípticas, Liouville fundamentou todo o assunto nas propriedades gerais das funções duplamente periódicas e demonstrou a transcendência das funções abelianas. Foi nesse contexto que ele descobriu o teorema de Liouville em análise complexa: funções inteiras limitadas são constantes.^[1] Um resultado análogo é o teorema de Liouville para funções harmônicas, ou soluções da equação de Laplace, que afirma que funções harmônicas limitadas no espaço euclidiano são constantes. Edward Nelson apresentou uma demonstração curta em 1961, explorando a propriedade do valor médio das funções harmônicas.^[7]

Desde meados do século XVIII, matemáticos e físicos estudavam diversas equações diferenciais parciais com valores de contorno, utilizando a separação de variáveis para reduzi-las a sistemas de equações diferenciais ordinárias, as quais carregavam seus próprios parâmetros. As soluções encontradas para valores específicos desses parâmetros, denominados autovalores, eram conhecidas como autofunções. A separação de variáveis em diferentes sistemas de coordenadas levou a novas funções especiais, como as funções de Bessel e os polinômios de Legendre, como autofunções de equações diferenciais ordinárias.^[4] Liouville e seu amigo Jacques Charles François Sturm buscaram tratar o problema geral para qualquer equação diferencial linear de segunda ordem. Em uma série de artigos publicados na década de 1830, os dois estabeleceram a Teoria de Sturm-Liouville.^[4] Atualmente, ela constitui um procedimento padrão para resolver certos tipos de equações integrais. O trabalho de ambos foi inspirado pela análise da difusão de calor em um cilindro realizada por Jean-Baptiste Joseph Fourier.^[8] Em sua formulação original, a teoria de Sturm-Liouville não era totalmente rigorosa, pois não tratava adequadamente a completude do conjunto de autofunções (ou conjunto de base ortogonal) nem a convergência da solução em relação à expansão em termos das autofunções.^[4]

Independentemente de Niels Henrik Abel, Liouville estudou equações integrais especiais e empregou um método de substituições sucessivas, antecipando Carl Neumann por algumas décadas. Contudo, suas contribuições nesse domínio foram posteriormente absorvidas pelo trabalho de Vito Volterra, pioneiro da teoria geral das equações integrais.^[4]

Em 1837,^[9] Liouville buscou soluções aproximadas para equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes espacialmente variáveis e obteve, em linguagem moderna, uma série assintótica.^[4] George Green descobriu independentemente essa técnica no mesmo ano, em um artigo sobre ondas em um canal.^[10] O método de Liouville-Green foi redescoberto em 1923 por Harold Jeffreys,^[11] e novamente em 1926 por Gregor Wentzel, Hans Kramers e Léon Brillouin, que estudavam a Equação de Schrödinger da mecânica quântica.^[4]

Liouville provou, em um artigo de 1838 sobre equações diferenciais,^[12] que o volume do espaço de fase de um sistema mecânico conservativo é constante, resultado hoje conhecido como teorema de Liouville na mecânica hamiltoniana.^[1] Seguindo Josiah Willard Gibbs, o teorema de Liouville é reconhecido como um resultado fundamental da mecânica estatística.^[13] Em um contexto relacionado, Liouville introduziu a noção de coordenadas ação-ângulo como descrição de sistemas completamente integráveis. A formulação moderna disso é às vezes chamada de teorema de Liouville-Arnold, e o conceito subjacente de integrabilidade é referido como integrabilidade de Liouville.

Em seu estudo de eletrodinâmica, Liouville desenvolveu a Integral de Riemann-Liouville para considerar diferenciação e integração de ordem fracionária.^[14]

Ele também estudou as formas de massas de fluido em rotação em equilíbrio e a teoria do potencial.^[1]

Seus manuscritos não publicados indicaram que ele já conhecia o Método de Rayleigh-Ritz para aproximação dos autovalores de um problema de valor de contorno já em 1845, décadas antes de William Strutt (Lord Rayleigh) introduzi-lo em sua obra Theory of Sound (1877).^[1]