Bremsstrahlung

Bremsstrahlung (ou radiação de desaceleração) é a radiação produzida quando cargas elétricas sofrem desaceleração. A palavra, de origem alemã, significa: Bremsen = "frear"/"travar" e Strahlung = "radiação".

Quando partículas carregadas, principalmente elétrons, interagem com o campo elétrico de núcleos de número atômico elevado ou com a eletrosfera, elas reduzem a energia cinética, mudam de direção e emitem a diferença de energia sob a forma de ondas eletromagnéticas, denominadas de raios X de freamento/desaceleração ou "bremsstrahlungs".^[1]

A energia dos raios X de freamento ou desaceleração depende fundamentalmente da energia da partícula incidente. Os raios X gerados para uso médico e industrial não passam dos 500 keV, embora possam ser obtidos em laboratório raios X até com energia na ordem centenas de MeV. Como o processo depende da energia e da intensidade de interação da partícula incidente com o núcleo e de seu ângulo de "saída", a energia da radiação produzida pode variar de zero a um valor máximo, sendo contínuo seu espectro em energia.^{[nota 1]}

Ao interagir com a matéria, a radiação incidente pode também transformar total ou parcialmente sua energia em outro tipo de radiação. Isso ocorre na geração dos raios X de freamento, na produção de pares e na radiação de aniquilação. Já raios X característicos são provenientes da interação em processos de decaimento.

Quando ocorre a captura eletrônica ou outro processo que retire elétrons da eletrosfera do átomo, a vacância originada pelo elétron é imediatamente preenchida por algum elétron de orbitais superiores. Ao passar de um estado menos ligado para outro mais ligado (por estar mais interno na estrutura eletrônica), o excesso de energia do elétron é liberado por meio de uma radiação eletromagnética, cuja energia é igual à diferença de energia entre o estado inicial e o final. Ocorre instabilidade do átomo do ânodo, com saltos quânticos e libertação de radiação eletromagnética característica do respectivo material, até que o estado energético do átomo seja mínimo. A denominação "característico" se deve ao fato de que os fótons emitidos na transição, por serem monoenergéticos, revelarem detalhes da estrutura eletrônica do elemento químico e, assim, sua energia e intensidade relativa permitem a identificação do elemento de origem.^[2]

A produção de raios X só ocorre por materiais de número atômico elevado (como o caso do tungstênio). Os raios X característicos são, portanto, dependentes dos níveis de energia da eletrosfera e, dessa forma, seu espectro de distribuição em energia é discreto.

Como a emissão de raios X característicos é um fenômeno que ocorre com energia da ordem da energia de ligação dos diversos níveis da eletrosfera, as energias de emissão dos raios X característicos variam de alguns eV a dezenas de keV. Atualmente, baseados no modelo de Bohr, pode-se entender como são gerados os raios característicos e por que o espectro obtido com o tungstênio apresenta apenas linhas discretas.

Quando o elétron proveniente do cátodo incide no ânodo, ele pode expulsar um elétron orbital. A órbita de onde o elétron é expulso depende da energia do elétron incidente e dos níveis de energia do átomo do ânodo. A lacuna deixada por esse elétron é preenchida por um elétron mais externo.

Um mecanismo considerado importante para números atômicos pequenos ${\displaystyle Z}$ é o espalhamento de um elétron livre nos elétrons da camada de um átomo ou molécula^[3]. Como a bremsstrahlung elétron-elétron é uma função de ${\displaystyle Z}$ e a bremsstrahlung elétron-núcleo usual é uma função de ${\displaystyle Z^{2}}$, a bremsstrahlung elétron-elétron é negligenciável para metais. No entanto, para o ar, desempenha um papel importante na produção de flashes gama terrestres^[4].

Uma partícula carregada acelerada, no vácuo, irradia energia, conforme descrito pela fórmula de Larmor (e pelas suas generalizações relativistas):

${\displaystyle P={\frac {q^{2}a^{2}}{6\pi \epsilon _{0}c^{3}}}}$

onde ${\displaystyle P}$ é a potência, ${\displaystyle q}$ a carga da partícula, ${\displaystyle a}$ a sua aceleração e ${\displaystyle c}$ a velocidade da luz no vácuo.

Embora o termo bremsstrahlung seja geralmente reservado para partículas carregadas aceleradas na presença de matéria, e não no vácuo, as leis são semelhantes.

A potência total irradiada pode ser obtida a partir da fórmula relativista:

${\displaystyle P={\frac {q^{2}\gamma ^{4}}{6\pi \epsilon _{0}c}}\left({\dot {\beta }}^{2}+{\frac {\left({\vec {\beta }}\cdot {\dot {\vec {\beta }}}\right)^{2}}{1-\beta ^{2}}}\right)}$

onde ${\displaystyle {\vec {\beta }}={\vec {v}}/c}$, em que ${\displaystyle {\vec {v}}}$ é a velocidade da partícula, ${\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$ é o fator de Lorentz, e ${\displaystyle {\dot {\vec {\beta }}}}$ é a derivada temporal de ${\displaystyle {\vec {\beta }}}$. Utilizando a identidade^[5]:

${\displaystyle {{\biggl (}{\vec {\beta }}\cdot {\dot {\vec {\beta }}}{\biggr )}}^{2}={\vec {\beta }}^{2}\cdot {\dot {\vec {\beta }}}^{2}-{{\biggl (}{\vec {\beta }}\times {\dot {\vec {\beta }}}{\biggr )}}^{2}}$

pode-se escrever a expressão de ${\displaystyle P}$ na forma equivalente:

${\displaystyle P={\frac {q^{2}\gamma ^{6}}{6\pi \epsilon _{0}c}}\left({\dot {\beta }}^{2}-{{\biggl (}{\vec {\beta }}\times {\dot {\vec {\beta }}}{\biggr )}}^{2}\right)}$

No caso particular em que o vetor velocidade é paralelo à aceleração da partícula, a equação anterior pode ser simplificada como:

${\displaystyle P={\frac {q^{2}a^{2}\gamma ^{6}}{6\pi \epsilon _{0}c^{3}}}}$

onde se definiu ${\displaystyle a={\dot {v}}={\dot {\beta }}c}$.

No caso em que, pelo contrário, a aceleração é perpendicular à velocidade, ou seja, ${\displaystyle {\biggl (}{\vec {\beta }}\cdot {\dot {\vec {\beta }}}{\biggr )}=0}$, a potência total irradiada reduz-se a:

${\displaystyle P={\frac {q^{2}a^{2}\gamma ^{4}}{6\pi \epsilon _{0}c^{3}}}}$

Além disso, da relação ${\displaystyle E=\gamma mc^{2}}$, depreende-se que a potência total irradiada, em termos de comportamento em relação à massa, varia como ${\displaystyle m^{-4}}$ ou ${\displaystyle m^{-6}}$. Este é o motivo pelo qual os eletrões perdem energia por bremsstrahlung muito mais rapidamente do que outras partículas mais pesadas (como muões, protões, partículas alfa): a título de exemplo, um eletrão perde energia devido ao bremsstrahlung a uma taxa ${\displaystyle (m_{p}/m_{e})^{4}\sim 10^{13}}$ vezes superior à de um protão.

A potência total irradiada também pode ser expressa como função do ângulo sólido ${\displaystyle \Omega }$; mais precisamente, se indicarmos por ${\displaystyle d\Omega }$ o ângulo sólido infinitesimal e por ${\displaystyle {\hat {n}}}$ o versor direcionado da partícula para o observador, então existe a seguinte relação:

${\displaystyle {\frac {dP}{d\Omega }}={\frac {q^{2}}{16\pi ^{2}\epsilon _{0}c}}{\frac {\left|{\hat {n}}\times \left(\left({\hat {n}}-{\vec {\beta }}\right)\times {\dot {\vec {\beta }}}\right)\right|^{2}}{\left(1-{\hat {n}}\cdot {\vec {\beta }}\right)^{5}}}}$

No caso em que a velocidade é paralela à aceleração (por exemplo, num movimento retilíneo), a expressão pode ser simplificada para:

${\displaystyle {\frac {dP}{d\Omega }}={\frac {q^{2}a^{2}}{16\pi ^{2}\epsilon _{0}c^{3}}}{\frac {\sin ^{2}\theta }{\left(1-\beta \cos \theta \right)^{5}}}}$

onde ${\displaystyle \theta }$ é o ângulo formado entre o vetor aceleração ${\displaystyle {\vec {a}}}$ e a direção de observação.

NOTA: esta secção apresenta atualmente fórmulas que se aplicam no limite de Rayleigh–Jeans ${\displaystyle \hbar \omega \ll k_{\text{B}}T_{\text{e}}}$, e não utiliza um tratamento quantizado (Planck) da radiação. Assim, um fator usual como ${\displaystyle \exp(-\hbar \omega /k_{\rm {B}}T_{\text{e}})}$ não aparece. A presença de ${\displaystyle \hbar \omega /k_{\text{B}}T_{\text{e}}}$ em ${\displaystyle y}$ abaixo deve-se ao tratamento mecânico-quântico das colisões.

Num plasma, os eletrões livres colidem continuamente com os iões, produzindo bremsstrahlung. Uma análise completa requer a contabilização tanto das colisões binárias de Coulomb como do comportamento coletivo (dielétrico). Um tratamento detalhado é dado por Bekefi,^[6] enquanto um simplificado é fornecido por Ichimaru.^[7] Nesta secção, segue-se o tratamento dielétrico de Bekefi, com as colisões incluídas aproximadamente através do número de onda de corte, ${\displaystyle k_{\text{max}}}$.

Considere-se um plasma uniforme, com eletrões térmicos distribuídos de acordo com a distribuição de Maxwell–Boltzmann à temperatura ${\displaystyle T_{\text{e}}}$. Seguindo Bekefi, a densidade espetral de potência (potência por intervalo de frequência angular por volume, integrada em todo o ângulo sólido de ${\displaystyle 4\pi }$ sr e somada nas polarizações) do bremsstrahlung irradiado é calculada como:

$${\displaystyle {dP_{\mathrm {Br} } \over d\omega }={\frac {8{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\pi }}}}{{\bar {e}}^{6} \over (m_{\text{e}}c^{2})^{3/2}}\left[1-{\omega _{\rm {p}}^{2} \over \omega ^{2}}\right]^{1/2}{Z_{i}^{2}n_{i}n_{\text{e}} \over (k_{\rm {B}}T_{\text{e}})^{1/2}}E_{1}(y),}$$

onde ${\displaystyle \omega _{p}\equiv (n_{\text{e}}e^{2}/\varepsilon _{0}m_{\text{e}})^{1/2}}$ é a frequência de plasma dos eletrões, ${\displaystyle \omega }$ é a frequência do fotão, ${\displaystyle n_{\text{e}},n_{i}}$ são as densidades numéricas de eletrões e iões, e os restantes símbolos são constantes físicas. O segundo fator entre parênteses é o índice de refração de uma onda luminosa num plasma, e mostra que a emissão é fortemente suprimida para ${\displaystyle \omega <\omega _{\rm {p}}}$ (esta é a condição de corte para uma onda luminosa num plasma; neste caso, a onda é evanescente). Esta fórmula, portanto, apenas se aplica para ${\displaystyle \omega >\omega _{\rm {p}}}$. Em plasmas com múltiplas espécies de iões, esta fórmula deve ser somada sobre todas as espécies.

A função ${\displaystyle E_{1}}$ é a função integral exponencial, e a quantidade adimensional ${\displaystyle y}$ é:

$${\displaystyle y={\frac {1}{2}}{\omega ^{2}m_{\text{e}} \over k_{\text{max}}^{2}k_{\text{B}}T_{\text{e}}}}$$

${\displaystyle k_{\text{max}}}$ é um número de onda máximo ou de corte, que surge devido a colisões binárias, e pode variar com a espécie iónica. Aproximadamente, ${\displaystyle k_{\text{max}}=1/\lambda _{\text{B}}}$ quando ${\displaystyle k_{\text{B}}T_{\text{e}}>Z_{i}^{2}E_{\text{h}}}$ (típico em plasmas que não sejam demasiado frios), onde ${\displaystyle E_{\text{h}}\approx 27.2}$ eV é a energia de Hartree e ${\displaystyle \lambda _{\text{B}}=\hbar /(m_{\text{e}}k_{\text{B}}T_{\text{e}})^{1/2}}$ é o comprimento de onda térmico de de Broglie do eletrão. Caso contrário, ${\displaystyle k_{\text{max}}\propto 1/l_{\text{C}}}$, onde ${\displaystyle l_{\text{C}}}$ é a distância clássica de Coulomb de máxima aproximação.

Para o caso usual ${\displaystyle k_{m}=1/\lambda _{B}}$, obtemos: $${\displaystyle y={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\hbar \omega }{k_{\text{B}}T_{\text{e}}}}\right]^{2}.}$$

No limite ${\displaystyle y\ll 1}$, podemos aproximar ${\displaystyle E_{1}}$ como ${\displaystyle E_{1}(y)\approx -\ln[ye^{\gamma }]+O(y)}$ onde ${\displaystyle \gamma \approx 0.577}$ é a constante de Euler–Mascheroni.

A potência total de emissão por unidade de volume, integrada em todas as frequências, é: $${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\mathrm {Br} }&=\int _{\omega _{\text{p}}}^{\infty }d\omega {\frac {dP_{\mathrm {Br} }}{d\omega }}={\frac {16}{3}}{\frac {{\bar {e}}^{6}}{m_{\text{e}}^{2}c^{3}}}Z_{i}^{2}n_{i}n_{\text{e}}k_{\text{max}}G(y_{\text{p}})\\[1ex]G(y_{p})&={\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\int _{y_{\text{p}}}^{\infty }dy\,y^{-{1}/{2}}\left[1-{y_{\text{p}} \over y}\right]^{1/2}E_{1}(y)\end{aligned}}}$$

Para ${\displaystyle k_{\text{max}}=1/\lambda _{\text{B}}}$, encontramos: $${\displaystyle P_{\mathrm {Br} }={16 \over 3}{{\bar {e}}^{6} \over (m_{\text{e}}c^{2})^{\frac {3}{2}}\hbar }Z_{i}^{2}n_{i}n_{\text{e}}(k_{\rm {B}}T_{\text{e}})^{\frac {1}{2}}G(y_{\rm {p}})}$$

Em unidades práticas, uma versão comum desta fórmula para ${\displaystyle G=1}$ é:^[8] $${\displaystyle P_{\mathrm {Br} }[\mathrm {W/m^{3}} ]={Z_{i}^{2}n_{i}n_{\text{e}} \over \left[7.69\times 10^{18}\mathrm {m^{-3}} \right]^{2}}T_{\text{e}}[\mathrm {eV} ]^{\frac {1}{2}}.}$$

Esta ambiguidade é frequentemente expressa introduzindo o fator de Gaunt ${\displaystyle g_{\rm {B}}}$.

Correções relativistas

Para temperaturas muito elevadas, existem correções relativistas para esta fórmula, ou seja, termos adicionais da ordem de ${\displaystyle k_{\text{B}}T_{\text{e}}/m_{\text{e}}c^{2}}$.^[9]

A descrição mecânico-quântica completa foi realizada pela primeira vez por Bethe e Heitler.^[10] Eles assumiram ondas planas para elétrons que se dispersam no núcleo de um átomo e derivaram uma seção de choque que relaciona a geometria completa desse processo à frequência do fóton emitido. A seção de choque quadruplamente diferencial, que apresenta uma simetria mecânico-quântica com a produção de pares, é:

${\displaystyle {\begin{aligned}d^{4}\sigma ={}&{\frac {Z^{2}\alpha _{\text{fine}}^{3}\hbar ^{2}}{(2\pi )^{2}}}{\frac {\left|\mathbf {p} _{f}\right|}{\left|\mathbf {p} _{i}\right|}}{\frac {d\omega }{\omega }}{\frac {d\Omega _{i}\,d\Omega _{f}\,d\Phi }{\left|\mathbf {q} \right|^{4}}}\\&{}\times \left[{\frac {\mathbf {p} _{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{f}}{\left(E_{f}-c\left|\mathbf {p} _{f}\right|\cos \Theta _{f}\right)^{2}}}\left(4E_{i}^{2}-c^{2}\mathbf {q} ^{2}\right)+{\frac {\mathbf {p} _{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}{\left(E_{i}-c\left|\mathbf {p} _{i}\right|\cos \Theta _{i}\right)^{2}}}\left(4E_{f}^{2}-c^{2}\mathbf {q} ^{2}\right)\right.\\&{}\qquad +2\hbar ^{2}\omega ^{2}{\frac {\mathbf {p} _{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}+\mathbf {p} _{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{f}}{(E_{f}-c\left|\mathbf {p} _{f}\right|\cos \Theta _{f})\left(E_{i}-c\left|\mathbf {p} _{i}\right|\cos \Theta _{i}\right)}}\\&{}\qquad -2\left.{\frac {\left|\mathbf {p} _{i}\right|\left|\mathbf {p} _{f}\right|\sin \Theta _{i}\sin \Theta _{f}\cos \Phi }{\left(E_{f}-c\left|\mathbf {p} _{f}\right|\cos \Theta _{f}\right)\left(E_{i}-c\left|\mathbf {p} _{i}\right|\cos \Theta _{i}\right)}}\left(2E_{i}^{2}+2E_{f}^{2}-c^{2}\mathbf {q} ^{2}\right)\right],\end{aligned}}}$

onde ${\displaystyle Z}$ é o número atômico, ${\displaystyle \alpha _{\text{fine}}\approx 1/137}$ a constante de estrutura fina, ${\displaystyle \hbar }$ a constante de Planck reduzida e ${\displaystyle c}$ a velocidade da luz. A energia cinética ${\displaystyle E_{{\text{kin}},i/f}}$ do elétron nos estados inicial e final está conectada à sua energia total ${\displaystyle E_{i,f}}$ ou aos seus momentos ${\displaystyle \mathbf {p} _{i,f}}$ via $${\displaystyle E_{i,f}=E_{{\text{kin}},i/f}+m_{\text{e}}c^{2}={\sqrt {m_{\text{e}}^{2}c^{4}+\mathbf {p} _{i,f}^{2}c^{2}}},}$$ onde ${\displaystyle m_{\text{e}}}$ é a massa do elétron. A conservação de energia fornece $${\displaystyle E_{f}=E_{i}-\hbar \omega ,}$$ onde ${\displaystyle \hbar \omega }$ é a energia do fóton. As direções do fóton emitido e do elétron disperso são dadas por $${\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{i}&=\sphericalangle (\mathbf {p} _{i},\mathbf {k} ),\\\Theta _{f}&=\sphericalangle (\mathbf {p} _{f},\mathbf {k} ),\\\Phi &={\text{Ângulo entre os planos }}(\mathbf {p} _{i},\mathbf {k} ){\text{ e }}(\mathbf {p} _{f},\mathbf {k} ),\end{aligned}}}$$ onde ${\displaystyle \mathbf {k} }$ é o momento do fóton.

Os diferenciais são dados como $${\displaystyle {\begin{aligned}d\Omega _{i}&=\sin \Theta _{i}\ d\Theta _{i},\\d\Omega _{f}&=\sin \Theta _{f}\ d\Theta _{f}.\end{aligned}}}$$

O valor absoluto do fóton virtual entre o núcleo e o elétron é

${\displaystyle {\begin{aligned}-\mathbf {q} ^{2}={}&-\left|\mathbf {p} _{i}\right|^{2}-\left|\mathbf {p} _{f}\right|^{2}-\left({\frac {\hbar }{c}}\omega \right)^{2}+2\left|\mathbf {p} _{i}\right|{\frac {\hbar }{c}}\omega \cos \Theta _{i}-2\left|\mathbf {p} _{f}\right|{\frac {\hbar }{c}}\omega \cos \Theta _{f}\\&{}+2\left|\mathbf {p} _{i}\right|\left|\mathbf {p} _{f}\right|\left(\cos \Theta _{f}\cos \Theta _{i}+\sin \Theta _{f}\sin \Theta _{i}\cos \Phi \right).\end{aligned}}}$

O intervalo de validade é dado pela aproximação de Born $${\displaystyle v\gg {\frac {Zc}{137}}}$$ onde esta relação deve ser satisfeita para a velocidade ${\displaystyle v}$ do elétron tanto no estado inicial quanto no final.

Para aplicações práticas (por exemplo, em códigos de Monte Carlo), pode ser interessante focar na relação entre a frequência ${\displaystyle \omega }$ do fóton emitido e o ângulo entre este fóton e o elétron incidente. Köhn e Ute Ebert integraram a seção de choque quadruplamente diferencial de Bethe e Heitler sobre ${\displaystyle \Phi }$ e ${\displaystyle \Theta _{f}}$ e obtiveram:^[11] $${\displaystyle {\frac {d^{2}\sigma (E_{i},\omega ,\Theta _{i})}{d\omega \,d\Omega _{i}}}=\sum \limits _{j=1}^{6}I_{j}}$$ com

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}={}&{\frac {2\pi A}{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}}\ln \left({\frac {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}-{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\left(\Delta _{1}+\Delta _{2}\right)+\Delta _{1}\Delta _{2}}{-\Delta _{2}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}-{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\left(\Delta _{1}-\Delta _{2}\right)+\Delta _{1}\Delta _{2}}}\right)\\&{}\times \left[1+{\frac {c\Delta _{2}}{p_{f}\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)}}-{\frac {p_{i}^{2}c^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}{\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)^{2}}}-{\frac {2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}\Delta _{2}}{c\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)\left(\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}}\right],\\I_{2}={}&-{\frac {2\pi Ac}{p_{f}\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)}}\ln \left({\frac {E_{f}+p_{f}c}{E_{f}-p_{f}c}}\right),\\I_{3}={}&{\frac {2\pi A}{\sqrt {\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{4}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}}\times \ln \left[\left(\left[E_{f}+p_{f}c\right]\right.\right.\\&\left.\left[4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(E_{f}-p_{f}c\right)+\left(\Delta _{1}+\Delta _{2}\right)\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]-{\sqrt {\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\right)\right]\right)\\&\left[\left(E_{f}-p_{f}c\right)\left(4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left[-E_{f}-p_{f}c\right]\right.\right.\\&{}+\left.\left.\left(\Delta _{1}-\Delta _{2}\right)\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]-{\sqrt {\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\right]\right)\right]^{-1}\\&{}\times \left[-{\frac {\left(\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)\left(E_{f}^{3}+E_{f}p_{f}^{2}c^{2}\right)+p_{f}c\left(2\left[\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right]E_{f}p_{f}c+\Delta _{1}\Delta _{2}\left[3E_{f}^{2}+p_{f}^{2}c^{2}\right]\right)}{\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\right.\\&{}-{\frac {c\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)}{p_{f}\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)}}-{\frac {4E_{i}^{2}p_{f}^{2}\left(2\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}-4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)\left(\Delta _{1}E_{f}+\Delta _{2}p_{f}c\right)}{\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)^{2}}}\\&{}+\left.{\frac {8p_{i}^{2}p_{f}^{2}m^{2}c^{4}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(E_{i}^{2}+E_{f}^{2}\right)-2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}p_{f}c\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)+2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}m^{2}c^{3}\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)}{\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}}\right],\\I_{4}={}&{}-{\frac {4\pi Ap_{f}c\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)}{\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}-{\frac {16\pi E_{i}^{2}p_{f}^{2}A\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}}{\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)^{2}}},\\I_{5}={}&{\frac {4\pi A}{\left(-\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}}\\&{}\times \left[{\frac {\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}^{2}}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\right.\\&{}\times {\frac {E_{f}\left(2\Delta _{2}^{2}\left[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}\right]+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left[\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}\right]\right)+p_{f}c\left(2\left[\Delta _{1}\Delta _{2}\right]\left[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}\right]+16\Delta _{1}\Delta _{2}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}{\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\\&{}+{\frac {2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(2\Delta _{1}\Delta _{2}p_{f}c+2\Delta _{2}^{2}E_{f}+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}E_{f}\right)}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\\&{}+{\frac {2E_{i}^{2}p_{f}^{2}\left(2\left[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}\right]\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left[\left(\Delta _{1}^{2}+\Delta _{2}^{2}\right)\left(E_{f}^{2}+p_{f}^{2}c^{2}\right)+4\Delta _{1}\Delta _{2}E_{f}p_{f}c\right]\right)}{\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\\&{}+\left.{\frac {8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(E_{i}^{2}+E_{f}^{2}\right)\left(\Delta _{2}p_{f}c+\Delta _{1}E_{f}\right)}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\right],\\I_{6}={}&{\frac {16\pi E_{f}^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}A}{\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)^{2}\left(-\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}},\end{aligned}}}$

e

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {Z^{2}\alpha _{\text{fine}}^{3}}{(2\pi )^{2}}}{\frac {\left|\mathbf {p} _{f}\right|}{\left|\mathbf {p} _{i}\right|}}{\frac {\hbar ^{2}}{\omega }}\\\Delta _{1}&=-\mathbf {p} _{i}^{2}-\mathbf {p} _{f}^{2}-\left({\frac {\hbar }{c}}\omega \right)^{2}+2{\frac {\hbar }{c}}\omega \left|\mathbf {p} _{i}\right|\cos \Theta _{i},\\\Delta _{2}&=-2{\frac {\hbar }{c}}\omega \left|\mathbf {p} _{f}\right|+2\left|\mathbf {p} _{i}\right|\left|\mathbf {p} _{f}\right|\cos \Theta _{i}.\end{aligned}}}$

No entanto, uma expressão muito mais simples para a mesma integral pode ser encontrada em ^[12] (Eq. 2BN) e em ^[13] (Eq. 4.1).

Uma análise da seção de choque duplamente diferencial acima mostra que elétrons cuja energia cinética é maior que a energia de repouso (511 keV) emitem fótons na direção frontal, enquanto elétrons com baixa energia emitem isotropicamente fótons.