Parâmetro gravitacional padrão

O parâmetro gravitacional padrão μ de um corpo celeste é o produto da constante gravitacional G e a massa M desse corpo. Para dois corpos, o parâmetro pode ser expresso como G(m₁ + m₂), ou como GM quando um corpo é muito maior que o outro: $${\displaystyle \mu =G(M+m)\approx GM.}$$

Para vários objetos no Sistema Solar, o valor de μ é conhecido com maior precisão do que G ou M separadamente. A unidade do SI para o parâmetro gravitacional padrão é m³⋅s⁻². No entanto, a unidade km³⋅s⁻² é frequentemente utilizada na literatura científica e na navegação espacial.

O corpo central em um sistema orbital pode ser definido como aquele cuja massa (M) é muito maior que a massa do corpo em órbita (m), ou M ≫ m. Essa aproximação é padrão para planetas orbitando o Sol ou a maioria das luas, e simplifica muito as equações. Pela lei da gravitação universal de Newton, se a distância entre os corpos for r, a força exercida sobre o corpo menor é: $${\displaystyle F={\frac {GMm}{r^{2}}}={\frac {\mu m}{r^{2}}}}$$

Assim, apenas o produto de G e M é necessário para prever o movimento do corpo menor. Inversamente, medições da órbita do corpo menor fornecem apenas informações sobre o produto μ, não G e M separadamente. A constante gravitacional G é difícil de medir com alta precisão,^[13] enquanto órbitas, pelo menos no Sistema Solar, podem ser medidas com grande precisão e usadas para determinar μ com precisão similar.

Para uma órbita circular em torno de um corpo central, onde a força centrípeta fornecida pela gravidade é F = mv²r⁻¹: $${\displaystyle \mu =rv^{2}=r^{3}\omega ^{2}={\frac {4\pi ^{2}r^{3}}{T^{2}}},}$$ onde r é o raio orbital, v é a velocidade orbital, ω é a velocidade angular e T é o período orbital.

Isso pode ser generalizado para órbitas elípticas: $${\displaystyle \mu ={\frac {4\pi ^{2}a^{3}}{T^{2}}},}$$ onde a é o semi-eixo maior, conforme a terceira lei de Kepler.

Para trajetórias parabólicas, rv² é constante e igual a 2μ. Para órbitas elípticas e hiperbólicas, o módulo de μ = 2 vezes o módulo de a vezes o módulo de ε, onde a é o semi-eixo maior e ε é a energia orbital específica.

No caso mais geral, onde os corpos não precisam ser um grande e um pequeno (por exemplo, um sistema de estrelas binárias), definimos:

• o vetor r como a posição de um corpo em relação ao outro
• r, v e, no caso de uma órbita elíptica, o semi-eixo maior a são definidos de forma correspondente (assim, r é a distância)
• μ = Gm₁ + Gm₂ = μ₁ + μ₂, onde m₁ e m₂ são as massas dos dois corpos.

Então:

• para órbitas circulares, rv² = r³ω² = 4π²r³/T² = μ
• para órbitas elípticas, 4π²a³/T² = μ (com a em UA; T em anos e M a massa total relativa à do Sol, obtém-se a³/T² = M)
• para trajetórias parabólicas, rv² é constante e igual a 2μ
• para órbitas elípticas e hiperbólicas, μ é duas vezes o semi-eixo maior multiplicado pelo negativo da energia orbital específica, definida como a energia total do sistema dividida pela massa reduzida.

O parâmetro gravitacional padrão pode ser determinado usando um pêndulo oscilando acima da superfície de um corpo como:^[14]

$${\displaystyle \mu \approx {\frac {4\pi ^{2}r^{2}L}{T^{2}}}}$$ onde r é o raio do corpo gravitante, L é o comprimento do pêndulo e T é o período do pêndulo (para o motivo da aproximação, veja Pêndulo (mecânica)).

GM_Terra, o parâmetro gravitacional da Terra como corpo central, é chamado de constante gravitacional geocêntrica. Ele é igual a (3,986004418±0,000000008)×10¹⁴ m³⋅s⁻².^[4]

O valor dessa constante tornou-se importante com o início dos voos espaciais na década de 1950, e grandes esforços foram feitos para determiná-la com a maior precisão possível durante a década de 1960. Sagitov (1969) cita uma faixa de valores reportados a partir de medições de alta precisão dos anos 1960, com incerteza relativa da ordem de 10⁻⁶.^[15]

Durante as décadas de 1970 e 1980, o número crescente de satélites artificiais em órbita terrestre facilitou ainda mais medições de alta precisão, e a incerteza relativa foi reduzida em mais três ordens de magnitude, para cerca de 2×10⁻⁹ (1 em 500 milhões) em 1992. A medição envolve observações das distâncias entre o satélite e as estações terrestres em diferentes momentos, que podem ser obtidas com alta precisão usando radar ou telemetria a laser.^[16]

GM_☉, o parâmetro gravitacional do Sol como corpo central, é chamado de constante gravitacional heliocêntrica ou geopotencial do Sol e é igual a (1,32712440042±0,0000000001)×10²⁰ m³⋅s⁻².^[17]

A incerteza relativa em GM_☉, citada como inferior a 10⁻¹⁰ em 2015, é menor que a incerteza em GM_Terra porque GM_☉ é derivada de medições de distância de sondas interplanetárias, e o erro absoluto dessas medições é aproximadamente o mesmo das medições de satélites terrestres, enquanto as distâncias absolutas envolvidas são muito maiores.^{[carece de fontes?]}

• Sistema astronômico de unidades