Integral de Fresnel

Integrais de Fresnel, S(x) e C(x), são duas funções transcendentais, cujo nome advém de Augustin-Jean Fresnel, que são usadas em óptica. Advieram da descrição do fenômeno de difração de Fresnel em campos próximos (sugerido do inglês, near field) e são definidos pelas seguintes representações de integral:

${\displaystyle S(x)=\int _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt,\quad C(x)=\int _{0}^{x}\cos(t^{2})\,dt.}$

A simultânea equação paramétrica de S(x) e C(x) é a Espiral de Cornu (também conhecida como clotóide e como espiral de Euler).

Os integrais de Fresnel admitem a seguinte série de potências que convergem para todo o x:

${\displaystyle S(x)=\int _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)}}}$

${\displaystyle C(x)=\int _{0}^{x}\cos(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)}}}$

Alguns autores, incluindo Handbook of Mathematical Functions, (eqs 7.3.1 – 7.3.2) usam ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}t^{2}}$ para o argumento dos integrais definindo S(x) e C(x). Para conseguir estas funções, multiplicam os integrais acima por ${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}}$ e multiplicam o argumento x por ${\displaystyle ({\frac {\pi }{2}})^{1/2}}$.

A espiral de Euler, ou Cornu, ou clotóide, é a curva gerada pela equação paramétrica de S(t) por oposição a C(t). A esperial de Cornu foi criada por Marie Alfred Cornu como um nomograma para computação de difrações em ciência e engenharia.

Pela definição dos integrais de Fresnel, os infinitésimais dx e dy são:

${\displaystyle dx=C'(t)dt=\cos(t^{2})dt\,}$

${\displaystyle dy=S'(t)dt=\sin(t^{2})dt\,}$

Logo o comprimento da esprial medido da origem pode ser expresso como:

${\displaystyle L=\int _{0}^{t}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=\int _{0}^{t}{dt}=t}$

Isto é, o parâmetro t é o comprimento da curva medido da origem (0,0) e a espiral de Cornu tem comprimento infinito. O vector [cos(t²), sin(t²)], também chamado vector tangente unitário, ao longo da espiral dá θ = t². Visto t ser o comprimento da curva, a curvatura ${\displaystyle \kappa }$ pode ser expressa como:

${\displaystyle \kappa ={\tfrac {1}{R}}={\tfrac {d\theta }{dt}}=2t}$

E o rácio de modificação da curvatura com respeito ao comprimento da curva é:

${\displaystyle {\tfrac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=2}$

Uma espiral de Cornu tem uma propriedade em que a curvatura é, em qualquer ponto, proporcional à distância ao longo da espiral, medida desde a origem. Esta propriedade faz com que seja útil no cálculo da curvatura em engenharia de autoestradas ou caminhos de ferro.

Se um veículo segue a espiral a uma velocidade, o parâmetro t nas derivações acima também representa o tempo. Isto é o veículo seguindo a espiral em velocidade constante vai ter um valor constante de aceleração angular.

Secções das espirais de Euler são vulgarmente usadas na forma de ciclos de Montanha-russa para fazer o que é conhecido como ciclos verticais (em que os utilizadores são postos de cabeça para baixo na sua viagem após uma subida, seguido de uma descida).

• C(x) e S(x) são funções ímpares de x.
• usando a série de potências acima, os integrais de Fresnel podem ser estendidos ao domínios dos números complexos, e tornam-se funções analíticas de uma variável complexa. Os integrais de Fresnel podem ser expresso como Função erro como podemos ver:

${\displaystyle S(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{4}}\left({\sqrt {i}}\,\operatorname {erf} ({\sqrt {i}}\,x)+{\sqrt {-i}}\,\operatorname {erf} ({\sqrt {-i}}\,x)\right)}$

${\displaystyle C(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{4}}\left({\sqrt {-i}}\,\operatorname {erf} ({\sqrt {i}}\,x)+{\sqrt {i}}\,\operatorname {erf} ({\sqrt {-i}}\,x)\right).}$

• C e S são funções inteiras.
• Os integrais definindo C(x) e S(x) não podem ser avaliado em numa expressão fechada em termo de funções elementares, excepto em casos especiais. Os limites desta funções à medida que x se aproxima do infinito são conhecidos:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\cos t^{2}\,dt=\int _{0}^{\infty }\sin t^{2}\,dt={\frac {\sqrt {2\pi }}{4}}={\sqrt {\frac {\pi }{8}}}.}$

Os limites de C e S à medida que o argumento vai para o infinito podem ser encontrados por métodos de Análise complexa. Isto usa o integral de contorno (sugerido do inglês contour integral da função

${\displaystyle e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}}$

à volta da fronteira da região em forma do setor circular no plano complexo criada pelo positivo eixo x, meia linha de y = x, x ≥ 0, e o círculo de raio R centrado na origem.

Como R vai para infinito, o integral ao longo do arco circular tende para 0, o integral ao longo do eixo real tende para o integral gaussiano

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}dt={\sqrt {\frac {\pi }{2}}},}$

depois de algumas transformações de rotina, o integral ao longo do bi-sector do primeiro quadrante pode ser relacionado com o limite dos integrais de Fresnel.

A integral ${\displaystyle \int x^{m}\exp(ix^{n})dx=\int \sum _{l=0}^{\infty }{\frac {i^{l}x^{m+nl}}{l!}}dx=\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {i^{l}}{(m+nl+1)}}{\frac {x^{m+nl+1}}{l!}}}$

é uma função hipergeométrica confluente (sugerido do inglês, confluent hypergeometric function) e também uma função de gamma incompleta (sugerido do inglês, incomplete Gamma function).

${\displaystyle \int x^{m}\exp(ix^{n})dx={\frac {x^{m+1}}{m+1}}\,_{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}{\frac {m+1}{n}}\\1+{\frac {m+1}{n}}\end{array}}\mid ix^{n}\right)={\frac {1}{n}}i^{(m+1)/n}\gamma ({\frac {m+1}{n}},-ix^{n}),}$

que reduz o integral de Fresnel se as suas partes reais ou imaginárias são retiradas:

${\displaystyle \int x^{m}\sin(x^{n})dx={\frac {x^{m+n+1}}{m+n+1}}\,_{1}F_{2}\left({\begin{array}{c}{\frac {1}{2}}+{\frac {m+1}{2n}}\\{\frac {3}{2}}+{\frac {m+1}{2n}},{\frac {3}{2}}\end{array}}\mid -{\frac {x^{2n}}{4}}\right)}$.

O termo principal da expansão assintótica é

${\displaystyle _{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}{\frac {m+1}{n}}\\1+{\frac {m+1}{n}}\end{array}}\mid ix^{n}\right)\sim {\frac {m+1}{n}}\Gamma ({\frac {m+1}{n}})e^{i\pi (m+1)/(2n)}x^{-m+1}}$,

logo ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{m}\exp(ix^{n})dx={\frac {1}{n}}\Gamma ({\frac {m+1}{n}})e^{i\pi (m+1)/(2n)}}$,

e em particular ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\sin(x^{a})\ dx={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{a}}\right)\sin({\frac {\pi }{2a}})}{a}}}$

com o lado esquerdo a convergir para a>1 e o lado direito sendo a sua extensão analítica ao plano inteiro menos onde se encontram os polos de ${\displaystyle \Gamma (a^{-1})}$.

A transformação de Kummer da função hipergeométrica confluente é

${\displaystyle \int x^{m}\exp(ix^{n})dx=V_{n,m}(x)e^{ix^{n}}}$

com ${\displaystyle V_{n,m}:={\frac {x^{m+1}}{m+1}}\,_{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}1\\1+{\frac {m+1}{n}}\end{array}}\mid -ix^{n}\right)}$.

• Augustin-Jean Fresnel
• Espiral de Cornu

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