Equação de Burgers

A equação de Burgers, introduzida pela primeira vez por Harry Bateman em 1915^[1] e mais tarde estudada por Johannes Martinus Burgers em 1948,^[2] é uma equação diferencial parcial fundamental e equação de convecção-difusão^[3] que ocorre em várias áreas da matemática aplicada, como mecânica dos fluidos, acústica não linear, dinâmica de gases, e fluxo de tráfego.^[4] É expressa por ${\displaystyle u_{t}+c\cdot u_{x}=\mu \cdot u_{xx}}$. O estudo dessa equação é de extrema importância, já que ela é utilizada como modelo matemático para análise de fenômenos como turbulência e formação de choque.

A equação de Burgers, estabelecida por Burgers em 1940, é uma equação diferencial parcial simplificada das equações de Navier-Stokes, do tipo convecção-difusão, para casos em que o gradiente de pressão possa ser ignorado. O termo não linear dá origem a uma onda que se move em alguma direção. Essa onda eventualmente se dissipa e a solução não linear tende à mesma forma da solução não linearizada, porém com amplitude menor.^[5]

A solução desta equação sem viscosidade, ou seja, com ${\displaystyle \mu =0}$, pode se dar pelo método das características, no qual é possível descobrir curvas características, onde a equação é reduzida para uma EDO.

Considerando ${\displaystyle \mu >0}$, Hopf^[6] e Cole^[7] deduziram que as equações de Burgers podem ser transformadas em uma equação linear da difusão do calor, conhecida como "transformação de Hopf-Cole".

Seja ${\displaystyle v(x,t)>0}$ uma solução positiva da equação do calor:

${\displaystyle v_{t}=\mu v_{xx}}$

Então, definimos a transformação de Hopf-Cole como:

${\displaystyle u(x,t)=-2\mu {\frac {v_{x}}{v}}}$

Essa transformação é útil para converter a equação de Burgers na equação do calor, facilitando sua resolução.^[8]

O Teorema da Conservação de Massa afirma que a integral total da solução ${\displaystyle u(x,t)}$ ao longo de toda a reta real ${\displaystyle \mathbb {R} }$ permanece constante no tempo, desde que ${\displaystyle u(x,0)\in L^{1}(\mathbb {R} ).}$ Seja u(x,t) uma solução da equação de Burgers viscosa:

${\displaystyle u_{t}+uu_{x}=\mu u_{xx}}$

com condição inicial ${\displaystyle u(x,0)\in L^{1}(\mathbb {R} ).}$ Então, para todo ${\displaystyle t\geq 0}$ , a seguinte identidade se mantém:

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }u(x,t)\,dx=\int _{\mathbb {R} }u(x,0)\,dx.}$

Ou seja, a quantidade total de ${\displaystyle u(x,t)}$ ao longo do domínio permanece constante no tempo. ^[9]

Se ${\displaystyle ||u(x,t)||_{L^{1}(\mathbb {R} )}\leq ||u(x,0)||_{L^{1}(\mathbb {R} )}}$ para todo ${\displaystyle t>0}$, e o teorema da conservação de massa, que estabelece que, sendo ${\displaystyle u(x,t)}$ solução para a equação de Burgers com ${\displaystyle u(x,0)\in L^{1}(\mathbb {R} )}$, tem-se que:

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }u(x,t)dx=\int _{\mathbb {R} }u(x,0)dx}$

Para demonstrar o teorema da monotonicidade da solução, definimos uma função de corte ${\displaystyle \zeta _{r}(x)}$ e uma função sinal regularizada ${\displaystyle L'_{s}(u(x,t))}$.

${\displaystyle S\in C_{1}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle L'_{s}=\int S\left({\frac {\xi }{S}}\right)d\xi }$

${\displaystyle sgn(x)={\begin{cases}1,&{\text{se }}x>0\\0,&{\text{se }}x=0\\-1,&{\text{se }}x<0\end{cases}}}$

${\displaystyle \zeta _{r}(x)\in C^{1}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \zeta _{r}(x)={\begin{cases}1,&{\text{se }}|x|\leq r/2\\0,&{\text{se }}|x|\geq r\end{cases}}}$

O teorema da monotonicidade da solução consiste em multiplicar a equação de Burgers por ${\displaystyle L'_{s}(u(x,t))}$ e pela função de corte ${\displaystyle \zeta _{r}(x)}$, integrando em ${\displaystyle [t_{o},T]\times [-r,r]}$. Assim, obtemos:

${\displaystyle \int _{t_{0}}^{T}\!\!\!\int _{-r}^{r}L_{s}'\cdot \zeta _{r}(x)\cdot u_{t}dxdt+\int _{t_{0}}^{T}\!\!\!\int _{-r}^{r}L_{s}'\cdot \zeta _{r}(x)uu_{x}dxdt=\int _{t_{0}}^{T}\!\!\!\int _{-r}^{r}L_{s}'\cdot \zeta _{r}(x)\cdot \mu u_{xx}dxdt}$

Resolvendo a primeira parte da equação:

${\displaystyle I\rightarrow \int _{\mathbb {R} }L_{s}(u(x,T))-\int _{\mathbb {R} }L_{s}(u(x,t_{o}))}$

Pela parte III:

${\displaystyle III\rightarrow -\mu \int _{t_{0}}^{T}\!\!\!\int _{\mathbb {R} }Ls''(u)\cdot u_{x}^{2}dxdt}$

Unindo todas as partes:

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }L_{s}(u(x,T))\leq \int _{\mathbb {R} }L_{s}(u(x,t_{o}))}$

Então, quando ${\displaystyle S\rightarrow 0}$, temos ${\displaystyle L_{s}(u(x,T))\rightarrow |u(x,t)|}$, resultando em:

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }|u(x,T)|\leq \int _{\mathbb {R} }|u(x,t_{o})|}$

O mesmo raciocínio pode ser aplicado para ${\displaystyle r>1}$.

No caso da conservação de massa, multiplicamos a equação de Burgers ${\displaystyle u_{t}+uu_{x}=\mu \cdot u_{xx}}$ pela função de corte ${\displaystyle \zeta _{r}(x)}$ e integramos em ${\displaystyle [to,T]\times [-r,r]}$, resultando em:

${\displaystyle \int _{-r}^{r}u(x,T)=\int _{-r}^{r}u(x,t_{0})}$

Como a função ${\displaystyle {\frac {d\zeta _{r}}{dx}}}$ tende a 0 quando r ${\displaystyle \rightarrow \infty }$, resulta que a função ${\displaystyle u}$ é limitada, obtemos que os termos adicionais desaparecem, garantindo a conservação da massa na equação de Burgers.^[10]

Referências