Zero elevado a zero

A avaliação de zero elevado a zero é um problema matemático cuja resposta depende e varia de acordo com o contexto matemático, por convenção, na aritmética é indeterminado, já em contextos como na combinarória seu resultado é 1. No entanto, este resultado é sempre envolto em alguma polémica devido a diferentes áreas da matemática (como Cálculo) usarem raciocínios matemáticos diferentes que assim conduzem a resultados diferentes: ou 1 ou o que se chama de forma indeterminada. Matemáticos como Euler e Cauchy pesquisaram o problema, concluindo que a existir a resposta esta teria de ser 1, mas sem uma resposta única sendo obtida para todos os casos.

Para identidades matemáticas, por convenção, a expressão ${\displaystyle 0^{0}}$ é considerada como sendo igual a ${\displaystyle 1}$.^[1]

Partindo do princípio de que

${\displaystyle n^{a+b}=n^{a}.n^{b}}$,

segue-se o cálculo de ${\displaystyle n^{0}}$, no qual, para ${\displaystyle a=0}$ e qualquer ${\displaystyle n}$ e ${\displaystyle b}$ não nulos,

${\displaystyle n^{0+b}=n^{0}.n^{b}}$

${\displaystyle n^{b}=n^{0}.n^{b}}$

${\displaystyle n^{b}/n^{b}=n^{0}}$

Justamente pelo argumento acima ${\displaystyle n^{b}}$ ${\displaystyle \neq }$ 0 o que implica necessariamente que n ${\displaystyle \neq }$ 0, ou seja na aritmética qualquer número elevado a zero com exceção do próprio zero é 1.

Sendo ${\displaystyle n}$ e ${\displaystyle b}$ não nulos, ${\displaystyle n^{b}}$ também não será nulo, o que, simplificando o resultado acima, ${\displaystyle n^{0}=1}$, de forma a manter a lei fundamental acima.

Outra forma de entender o cálculo, é de que

${\displaystyle n^{a-a}=n^{a}.n^{-a}}$

${\displaystyle n^{0}={\frac {n^{a}}{n^{a}}}}$,

e portanto, ${\displaystyle n^{0}=1}$. Nos cálculos acima, porém, ${\displaystyle n\neq 0}$. Por conveniência, em casos extremamente isolados adota-se que ${\displaystyle 0^{0}=1}$, seguindo-se desse cálculo, para uso em identidades como o binômio de Newton.^[2]

A expressão ${\displaystyle 0^{0}}$ é uma das formas indeterminadas do Cálculo, a qual é obtida ao analisarmos o limite ${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x)^{g(x)}}$ quando ${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x)=\lim _{x\to 0}g(x)=0}$. Embora não haja razão para supor que uma forma indeterminada, que versa sobre o limite, seja igual ao valor exato do número ${\displaystyle 0}$ elevado ao número ${\displaystyle 0}$, muitos matemáticos desejam que haja essa concordância, justificando assim que o número ${\displaystyle 0^{0}}$ não deva ser definido.^[3]

• Cálculo Básico - Adilson Novazzi - 2011 J

Regra de l'Hôpital