Teoremas de Papo-Guldino

Os teoremas de Papo-Guldino (ou teoremas de Pappus-Guldin) são dois teoremas que exprimem, com recurso a conceitos da geometria como o de centroide (ou centro de massa), a relação que existe entre curvas e superfícies de revolução e entre superfícies e corpos de revolução. Os teoremas são atribuídos ao geómetra grego Papo de Alexandria, mais tarde retomados pelo matemático e astrônomo suíço Paul Guldin.

Uma condição geométrica fundamental para a aplicação de ambos os teoremas é que o eixo de revolução não pode cruzar (interceptar) a curva ou a superfície geratriz.

O primeiro teorema afirma que a área de uma superfície de revolução é igual ao produto do comprimento da curva geratriz pelo comprimento do caminho percorrido pelo centroide dessa mesma curva ao longo do ângulo que gera a superfície.

Sendo ${\displaystyle L}$ o comprimento da curva geratriz, ${\displaystyle \theta }$ o ângulo de rotação em radianos e ${\displaystyle {\bar {y}}}$ a distância do centroide da curva ao eixo de revolução, temos a área ${\displaystyle A}$:

$${\displaystyle A=\theta {\bar {y}}L}$$

Para uma revolução completa (${\displaystyle \theta =2\pi }$), a fórmula simplifica-se para o produto do comprimento da curva pelo perímetro da circunferência descrita pelo seu centroide: $${\displaystyle A=2\pi {\bar {y}}L}$$

O segundo teorema afirma que o volume de um sólido de revolução é igual ao produto da área da superfície geratriz pelo comprimento do caminho percorrido pelo centroide dessa mesma superfície ao longo do ângulo que gera o volume.

Sendo ${\displaystyle A}$ a área da superfície geratriz, ${\displaystyle \theta }$ o ângulo de revolução em radianos e ${\displaystyle {\bar {y}}}$ a distância do centroide da superfície ao eixo de revolução, temos o volume ${\displaystyle V}$:

$${\displaystyle V=\theta {\bar {y}}A}$$

Para uma revolução completa (${\displaystyle \theta =2\pi }$), a fórmula simplifica-se para o produto da área da figura pelo perímetro da circunferência descrita pelo seu centroide: $${\displaystyle V=2\pi {\bar {y}}A}$$

Uma das aplicações diretas mais clássicas dos teoremas de Papo-Guldino é a dedução das fórmulas de área e volume de um toro (sólido de revolução com formato de anel).

• Volume do toro: Um toro é gerado pela rotação de um círculo de raio ${\displaystyle r}$ cujo centro está a uma distância ${\displaystyle R}$ do eixo de revolução. A área da superfície geratriz (o círculo interno) é ${\displaystyle A=\pi r^{2}}$. O centroide de um círculo localiza-se no seu próprio centro geométrico, que, ao girar, percorre uma distância equivalente à circunferência de raio ${\displaystyle R}$, ou seja, ${\displaystyle 2\pi R}$. Aplicando o segundo teorema para uma volta completa, o volume é:

$${\displaystyle V=(2\pi R)\cdot (\pi r^{2})=2\pi ^{2}Rr^{2}}$$

• Área do toro: A curva geratriz é a borda do círculo, cujo comprimento (perímetro) é ${\displaystyle L=2\pi r}$. O centroide dessa curva também é o centro do círculo, que percorre a distância ${\displaystyle 2\pi R}$. Pelo primeiro teorema, a área da superfície do toro é:

$${\displaystyle A=(2\pi R)\cdot (2\pi r)=4\pi ^{2}Rr}$$

• Stewart, James (2013). Cálculo - Volume 1 7ª ed. [S.l.]: Cengage Learning. ISBN 978-8522112586 
• Beer, Ferdinand P.; Johnston, E. Russell (2019). Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática 11ª ed. [S.l.]: AMGH. ISBN 978-8580556100  !CS1 manut: Nomes múltiplos: lista de autores (link)
• Guidorizzi, Hamilton Luiz (2001). Um Curso de Cálculo - Volume 2 5ª ed. [S.l.]: LTC. ISBN 978-8521612602 Verifique |isbn= (ajuda)