Teorema de Clairaut-Schwarz

Na análise matemática, o teorema de Clairaut-Schwarz é uma condição suficiente para a igualdade das derivadas parciais cruzadas de uma função de várias variáveis. O teorema estabelece que, se as derivadas parciais cruzadas existem e são contínuas, então são iguais. O nome do teorema é uma referência aos não-contemporâneos Alexis Claude de Clairaut e Hermann Amandus Schwarz. Em matemática, a simetria das segundas derivadas (também chamada de igualdade das parciais mistas) é o facto de que a troca da ordem das derivadas parciais de uma função multivariável $${\displaystyle f\left(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)}$$ não altera o resultado se algumas condições de continuidade forem satisfeitas (ver abaixo); isto é, as derivadas parciais de segunda ordem satisfazem as identidades $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right)\ =\ {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right).}$$ Em outras palavras, a matriz das derivadas parciais de segunda ordem, conhecida como a matriz Hessiana, é uma matriz simétrica.

Condições suficientes para que a simetria se mantenha são dadas pelo teorema de Schwarz, também chamado de teorema de Clairaut ou teorema de Young.^[1][2]

No contexto de equações diferenciais parciais, é chamada de condição de integrabilidade de Schwarz.

Em símbolos, a simetria pode ser expressa como:

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)\ =\ {\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)\qquad {\text{ou}}\qquad {\frac {\partial ^{2}!f}{\partial x,\partial y}}\ =\ {\frac {\partial ^{2}!f}{\partial y,\partial x}}.}$$

Outra notação é:

$${\displaystyle \partial _{x}\partial _{y}f=\partial _{y}\partial _{x}f\qquad {\text{ou}}\qquad f_{yx}=f_{xy}.}$$

Em termos de composição do operador diferencial D_i que retira a derivada parcial em relação a x_i:

$${\displaystyle D_{i}\circ D_{j}=D_{j}\circ D_{i}.}$$

Desta relação segue-se que o anel de operadores diferenciais com coeficientes constantes, gerado pelos D_i, é comutativo; mas isto só é verdade como operadores sobre um domínio de funções suficientemente diferenciáveis. É fácil verificar a simetria aplicada a monómios, de modo que se pode tomar polinómios em x_i como um domínio. De facto, as funções suaves são outro domínio válido.

O resultado sobre a igualdade das derivadas parciais mistas sob certas condições possui uma longa história. A lista de propostas de provas mal-sucedidas começou com a de Euler, publicada em 1740,^[3] embora já em 1721 Nicolas Bernoulli tivesse assumido implicitamente o resultado sem nenhuma justificação formal.^[4] Clairaut também publicou uma proposta de prova em 1740, sem outras tentativas até o final do século XVIII. A partir de então, por um período de 70 anos, várias provas incompletas foram propostas. A prova de Lagrange (1797) foi aperfeiçoada por Cauchy (1823), mas assumia a existência e continuidade das derivadas parciais ${\displaystyle {\tfrac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}}$ e ${\displaystyle {\tfrac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}}$.^[5] Outras tentativas foram feitas por P. Blanchet (1841), Duhamel (1856), Sturm (1857), Schlömilch (1862) e Bertrand (1864). Finalmente, em 1867, Lindelöf analisou sistematicamente todas as provas falhas anteriores e foi capaz de exibir um contraexemplo específico onde as derivadas mistas falhavam em ser iguais.^[6][7]

Seis anos após isso, Schwarz conseguiu fornecer a primeira prova rigorosa.^[8] Dini contribuiu mais tarde ao encontrar condições mais gerais que as de Schwarz. Eventualmente, uma versão limpa e mais geral foi encontrada por Jordan em 1883, que ainda é a prova encontrada na maioria dos livros didáticos. Variantes menores de provas anteriores foram publicadas por Laurent (1885), Peano (1889 e 1893), J. Edwards (1892), P. Haag (1893), J. K. Whittemore (1898), Vivanti (1899) e Pierpont (1905). Novos progressos foram feitos em 1907–1909, quando E. W. Hobson e W. H. Young encontraram provas com condições mais fracas do que as de Schwarz e Dini. Em 1918, Carathéodory deu uma prova diferente baseada na integral de Lebesgue.^[7]

Na análise matemática, o teorema de Schwarz (ou teorema de Clairaut sobre a igualdade das parciais mistas)^[9], nomeado em honra a Alexis Clairaut e Hermann Schwarz, afirma que para uma função ${\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {R} }$ definida num conjunto ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$, se ${\displaystyle \mathbf {p} \in \mathbb {R} ^{n}}$ é um ponto tal que alguma vizinhança de ${\displaystyle \mathbf {p} }$ está contida em ${\displaystyle \Omega }$ e ${\displaystyle f}$ possui segundas derivadas parciais contínuas nessa vizinhança de ${\displaystyle \mathbf {p} }$, então para todos i e j em ${\displaystyle {1,2\ldots ,,n},}$

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i},\partial x_{j}}}f(\mathbf {p} )={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{j},\partial x_{i}}}f(\mathbf {p} ).}$$

As derivadas parciais desta função comutam nesse ponto.

Existe uma versão deste teorema onde se exige apenas que ${\displaystyle f}$ seja duas vezes diferenciável no ponto ${\displaystyle \mathbf {p} }$.

Uma forma fácil de estabelecer este teorema (no caso em que ${\displaystyle n=2}$, ${\displaystyle i=1}$ e ${\displaystyle j=2}$, o que acarreta prontamente o resultado em geral) é através da aplicação do teorema de Green ao gradiente de ${\displaystyle f.}$

Uma prova elementar para funções em subconjuntos abertos do plano é a seguinte (por uma redução simples, o caso geral para o teorema de Schwarz reduz-se facilmente ao caso planar).^[10] Seja ${\displaystyle f(x,y)}$ uma função diferenciável num retângulo aberto ${\displaystyle \Omega }$ contendo um ponto ${\displaystyle (a,b)}$ e suponha que ${\displaystyle df}$ é contínuo com ${\displaystyle \partial _{x}\partial _{y}f}$ e ${\displaystyle \partial _{y}\partial _{x}f}$ contínuos sobre ${\displaystyle \Omega .}$ Defina

$${\displaystyle {\begin{aligned}u{\left(h,\,k\right)}&=f\left(a{+}h,\,b{+}k\right)-f\left(a{+}h,\,b\right),\\v{\left(h,\,k\right)}&=f\left(a{+}h,\,b{+}k\right)-f\left(a,\,b{+}k\right),\\w{\left(h,\,k\right)}&=f\left(a{+}h,\,b{+}k\right)-f\left(a{+}h,\,b\right)-f\left(a,\,b{+}k\right)+f\left(a,\,b\right).\end{aligned}}}$$

Estas funções estão definidas para ${\displaystyle \left|h\right|,\left|k\right|<\varepsilon }$, onde ${\displaystyle \varepsilon >0}$ e ${\displaystyle \left[a{-}\varepsilon ,,a{+}\varepsilon \right]\times \left[b{-}\varepsilon ,,b{+}\varepsilon \right]}$ está contido em ${\displaystyle \Omega .}$

Pelo teorema do valor médio, para h e k fixos não nulos, ${\displaystyle \theta }$, ${\displaystyle \theta '}$, ${\displaystyle \phi }$, ${\displaystyle \phi '}$ podem ser encontrados no intervalo aberto ${\displaystyle (0,1)}$ com

$${\displaystyle {\begin{aligned}w(h,,k)&=u(h,,k)-u(0,,k)=h,\partial _{x}u(\theta h,,k)[0.5ex]&=h\left[\partial _{x}f(a+\theta h,,b+k)-\partial _{x}f(a+\theta h,,b)\right][0.5ex]&=hk,\partial _{y}\partial _{x}f(a+\theta h,,b+\theta ^{\prime }k)[1ex]w(h,,k)&=v(h,,k)-v(h,,0)=k,\partial _{y}v(h,,\phi k)[0.5ex]&=k\left[\partial _{y}f(a+h,,b+\phi k)-\partial _{y}f(a,,b+\phi k)\right][0.5ex]&=hk,\partial _{x}\partial _{y}f(a+\phi ^{\prime }h,,b+\phi k).\end{aligned}}}$$

Como ${\displaystyle h,,k\neq 0}$, a primeira igualdade abaixo pode ser dividida por ${\displaystyle hk}$:

$${\displaystyle {\begin{aligned}hk\,\partial _{y}\partial _{x}f{\left(a{+}\theta h,\,b{+}\theta ^{\prime }k\right)}&=hk\,\partial _{x}\partial _{y}f{\left(a{+}\phi ^{\prime }h,\,b{+}\phi k\right)},\\\partial _{y}\partial _{x}f{\left(a{+}\theta h,\,b{+}\theta ^{\prime }k\right)}&=\partial _{x}\partial _{y}f{\left(a{+}\phi ^{\prime }h,\,b{+}\phi k\right)}.\end{aligned}}}$$

Fazendo ${\displaystyle h,,k}$ tenderem a zero na última igualdade, as suposições de continuidade sobre ${\displaystyle \partial _{y}\partial _{x}f}$ e ${\displaystyle \partial _{x}\partial _{y}f}$ agora implicam que

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x\partial y}}f(a,,b)={\frac {\partial ^{2}}{\partial y\partial x}}f(a,,b).}$$

Este relato é um método clássico direto encontrado em muitos livros didáticos, por exemplo em Burkill, Apostol e Rudin.^[10][11][12]

Embora a derivação acima seja elementar, a abordagem também pode ser vista de uma perspectiva mais conceitual para que o resultado se torne mais aparente.^{[13][14][15][16][17]} De fato, os operadores de diferença ${\displaystyle \Delta _{x}^{t},,,\Delta _{y}^{t}}$ comutam e ${\displaystyle \Delta _{x}^{t}f,,,\Delta _{y}^{t}f}$ tendem a ${\displaystyle \partial _{x}f,,,\partial _{y}f}$ quando ${\displaystyle t}$ tende a 0, com uma afirmação semelhante para operadores de segunda ordem.^[a] Aqui, para ${\displaystyle z}$ um vetor no plano e ${\displaystyle u}$ um vetor direcional ${\displaystyle {\tbinom {1}{0}}}$ ou ${\displaystyle {\tbinom {0}{1}}}$, o operador de diferença é definido por

$${\displaystyle \Delta _{u}^{t}f(z)={f(z+tu)-f(z) \over t}.}$$

Pelo teorema fundamental do cálculo para funções ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle f}$ num intervalo aberto ${\displaystyle I}$ com ${\displaystyle (a,b)\subset I}$

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f^{\prime }(x),dx=f(b)-f(a).}$$

Portanto

$${\displaystyle \left|f(b)-f(a)\right|\leq (b-a),\sup _{c\in (a,b)}\left|f^{\prime }(c)\right|.}$$

Esta é uma versão generalizada do teorema do valor médio. Recorde que a discussão elementar sobre máximos ou mínimos para funções de valores reais implica que, se ${\displaystyle f}$ é contínua em ${\displaystyle [a,b]}$ e diferenciável em ${\displaystyle (a,b)}$, então existe um ponto ${\displaystyle c}$ em ${\displaystyle (a,b)}$ tal que

$${\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=f^{\prime }(c).}$$

Para funções com valores vetoriais onde ${\displaystyle V}$ é um espaço normado de dimensão finita, não há análogo da igualdade acima; de fato, ela falha. Mas como ${\displaystyle \inf f^{\prime }\leq f^{\prime }(c)\leq \sup f^{\prime }}$, a desigualdade acima é um substituto útil. Além disso, usando o pareamento do dual de ${\displaystyle V}$ com a sua norma dual, obtém-se a seguinte desigualdade:

$${\displaystyle \left|f(b)-f(a)\right|\leq (b-a),\sup _{c\in (a,b)}\left|f^{\prime }(c)\right|.}$$

Estas versões do teorema do valor médio são discutidas em Rudin, Hörmander e noutros locais.^[19][20]

Para ${\displaystyle f}$ uma função ${\displaystyle C^{2}}$ num conjunto aberto no plano, defina ${\displaystyle D_{1}=\partial _{x}}$ e ${\displaystyle D_{2}=\partial _{y}}$. Além disso, para ${\displaystyle t\neq 0}$, defina

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{1}^{t}f(x,y)&={\frac {f(x{+}t,\,y)-f(x,y)}{t}},\\\Delta _{2}^{t}f(x,y)&={\frac {f(x,\,y{+}t)-f(x,y)}{t}}.\end{aligned}}}$$

Então, para ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ no conjunto aberto, o teorema do valor médio generalizado pode ser aplicado duas vezes:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left|\Delta _{1}^{t}\Delta _{2}^{t}f(x_{0},y_{0})-D_{1}D_{2}f(x_{0},y_{0})\right|&\leq \sup _{0\leq s\leq 1}\left|\Delta _{1}^{t}D_{2}f(x_{0},,y_{0}{+}ts)-D_{1}D_{2}f(x_{0},y_{0})\right|[1ex]&\leq \sup _{0\leq r,s\leq 1}\left|D_{1}D_{2}f(x_{0}{+}tr,,y_{0}{+}ts)-D_{1}D_{2}f(x_{0},y_{0})\right|.\end{aligned}}}$$

Assim, ${\displaystyle \Delta _{1}^{t}\Delta _{2}^{t}f(x_{0},y_{0})}$ tende a ${\displaystyle D_{1}D_{2}f(x_{0},y_{0})}$ quando ${\displaystyle t}$ tende a 0. O mesmo argumento mostra que ${\displaystyle \Delta _{2}^{t}\Delta _{1}^{t}f(x_{0},y_{0})}$ tende a ${\displaystyle D_{2}D_{1}f(x_{0},y_{0})}$. Logo, como os operadores de diferença comutam, o mesmo acontece com os operadores diferenciais parciais ${\displaystyle D_{1}}$ e ${\displaystyle D_{2}}$, como afirmado.^{[21][22][23][24][25]}

Observação. Por duas aplicações do teorema do valor médio clássico,

$${\displaystyle \Delta _{1}^{t}\Delta _{2}^{t}f(x_{0},y_{0})=D_{1}D_{2}f{\left(x_{0}{+}t\theta ,,y_{0}{+}t\theta ^{\prime }\right)}}$$

para alguns ${\displaystyle \theta }$ e ${\displaystyle \theta ^{\prime }}$ em ${\displaystyle (0,1)}$. Assim, a primeira prova elementar pode ser reinterpretada usando operadores de diferença. Inversamente, em vez de usar o teorema do valor médio generalizado na segunda prova, o teorema do valor médio clássico poderia ser usado.

As propriedades de integrais de Riemann repetidas de uma função contínua F em um retângulo compacto [a,b] × [c,d] são facilmente estabelecidas.^[26] A continuidade uniforme de F implica imediatamente que as funções ${\displaystyle g(x)=\int _{c}^{d}F(x,y),dy}$ e ${\displaystyle h(y)=\int _{a}^{b}F(x,y),dx}$ são contínuas.^[27] Segue-se que

$${\displaystyle \int _{a}^{b}\int _{c}^{d}F(x,y),dy,dx=\int _{c}^{d}\int _{a}^{b}F(x,y),dx,dy;}$$

além disso, é imediato que a integral iterada é positiva se F for positiva.^[28] A igualdade acima é um caso simples do teorema de Fubini, não envolvendo teoria da medida. Titchmarsh (1939) prova-o de forma direta usando somas aproximadas de Riemann correspondentes a subdivisões de um retângulo em retângulos menores.

Para provar o teorema de Clairaut, assuma que f é uma função diferenciável em um conjunto aberto U, para a qual as segundas derivadas parciais mistas f_yx e f_xy existem e são contínuas. Usando o teorema fundamental do cálculo duas vezes,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{c}^{d}\int _{a}^{b}f_{yx}(x,y),dx,dy&=\int _{c}^{d}\left(f_{y}(b,y)-f_{y}(a,y)\right),dy[1ex]&=f(b,d)-f(a,d)-f(b,c)+f(a,c).\end{aligned}}}$$

Da mesma forma

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}\int _{c}^{d}f_{xy}(x,y),dy,dx&=\int _{a}^{b}\left(f_{x}(x,d)-f_{x}(x,c)\right),dx[1ex]&=f(b,d)-f(a,d)-f(b,c)+f(a,c).\end{aligned}}}$$

As duas integrais iteradas são, portanto, iguais. Por outro lado, como f_xy(x,y) é contínua, a segunda integral iterada pode ser realizada integrando primeiro em relação a x e depois em relação a y. Mas então a integral iterada de f_yx − f_xy no retângulo [a,b] × [c,d] deve anular-se. No entanto, se a integral iterada de uma função contínua F se anula para todos os retângulos, então F deve ser identicamente zero; do contrário, F ou −F seria estritamente positiva em algum ponto e, portanto, por continuidade, num retângulo, o que não é possível. Assim, f_yx − f_xy deve anular-se identicamente, de modo que f_yx = f_xy em todos os pontos.^{[29][30][31][32][33]}

Uma condição mais fraca do que a continuidade das segundas derivadas parciais (que é implicada por esta última), mas que é suficiente para garantir a simetria, é que todas as derivadas parciais sejam, elas mesmas, diferenciáveis.^[34] Outro fortalecimento do teorema, no qual se afirma a existência da derivada parcial mista permutada, foi fornecido por Peano numa nota curta de 1890 na revista Mathesis:

Se ${\displaystyle f:E\to \mathbb {R} }$ está definida num conjunto aberto ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} ^{2}}$; ${\displaystyle \partial _{1}f(x,,y)}$ e ${\displaystyle \partial _{2,1}f(x,,y)}$ existem em todos os pontos de ${\displaystyle E}$; ${\displaystyle \partial _{2,1}f}$ é contínua em ${\displaystyle \left(x_{0},,y_{0}\right)\in E}$, e se ${\displaystyle \partial _{2}f(x,,y_{0})}$ existe numa vizinhança de ${\displaystyle x=x_{0}}$, então ${\displaystyle \partial _{1,2}f}$ existe em ${\displaystyle \left(x_{0},,y_{0}\right)}$ e ${\displaystyle \partial _{1,2}f\left(x_{0},,y_{0}\right)=\partial _{2,1}f\left(x_{0},,y_{0}\right)}$.^[35]

A teoria das distribuições (funções generalizadas) elimina os problemas analíticos relacionados à simetria. A derivada de uma função integrável pode sempre ser definida como uma distribuição, e a simetria das derivadas parciais mistas sempre se mantém como uma igualdade de distribuições. O uso da integração por partes formal para definir a diferenciação de distribuições transfere a questão da simetria de volta para as funções de teste, que são suaves e certamente satisfazem esta simetria. Em mais detalhes (onde f é uma distribuição, escrita como um operador sobre funções de teste, e φ é uma função de teste),

$${\displaystyle {\begin{aligned}(D_{1}D_{2}f)[\phi ]&=-(D_{2}f)[D_{1}\phi ]=-(D_{1}f)[D_{2}\phi ]\\&=f[D_{2}D_{1}\phi ]=f[D_{1}D_{2}\phi ]\\&=(D_{2}D_{1}f)[\phi ].\end{aligned}}}$$

Outra abordagem, que define a Transformada de Fourier de uma função, consiste em notar que, em tais transformadas, as derivadas parciais tornam-se operadores de multiplicação que comutam de forma muito mais óbvia.^[a]

A simetria pode ser quebrada se a função falhar em ter derivadas parciais diferenciáveis, o que é possível se o teorema de Clairaut não for satisfeito (as segundas derivadas parciais não são contínuas).

Um exemplo de não-simetria é a função (devida a Peano):^[36][37]

$${\displaystyle f(x,\,y)={\begin{cases}{\frac {xy\left(x^{2}-y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}}&{\mbox{ for }}(x,\,y)\neq (0,\,0),\\0&{\mbox{ for }}(x,\,y)=(0,\,0).\end{cases}}}$$

(1)

Isto pode ser visualizado pela forma polar ${\displaystyle f(r\cos(\theta ),r\sin(\theta ))={\frac {r^{2}\sin(4\theta )}{4}}}$; ela é contínua em todos os pontos, mas as suas derivadas em (0, 0) não podem ser computadas algebricamente. Em vez disso, o limite dos quocientes de diferença mostra que ${\displaystyle f_{x}(0,0)=f_{y}(0,0)=0}$, de modo que o gráfico ${\displaystyle z=f(x,y)}$ possui um plano tangente horizontal em (0, 0), e as derivadas parciais ${\displaystyle f_{x},f_{y}}$ existem e são contínuas em todos os pontos. No entanto, as segundas derivadas parciais não são contínuas em (0, 0), e a simetria falha. De facto, ao longo do eixo x, a derivada em ordem a y é ${\displaystyle f_{y}(x,0)=x}$, e portanto: $${\displaystyle f_{yx}(0,0)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {f_{y}(\varepsilon ,0)-f_{y}(0,0)}{\varepsilon }}=1.}$$

Em contraste, ao longo do eixo y, a derivada em ordem a x é ${\displaystyle f_{x}(0,y)=-y}$, e portanto ${\displaystyle f_{xy}(0,0)=-1}$. Ou seja, ${\displaystyle f_{yx}\neq f_{xy}}$ em (0, 0), embora as derivadas parciais mistas existam e, em todos os outros pontos, a simetria se mantenha.

A função acima, escrita em coordenadas polares, pode ser expressa como $${\displaystyle f(r,,\theta )={\frac {r^{2}\sin {4\theta }}{4}},}$$

mostrando que a função oscila quatro vezes ao percorrer uma volta completa em torno de um laço arbitrariamente pequeno que contenha a origem. Intuitivamente, portanto, o comportamento local da função em (0, 0) não pode ser descrito como uma forma quadrática e, por conseguinte, a matriz Hessiana falha em ser simétrica.

Em geral, a permutação de operações de limite não tem de comutar. Dados dois processos de limite em duas variáveis perto de (0, 0) aplicados a $${\displaystyle f(h,,k)-f(h,,0)-f(0,,k)+f(0,,0)}$$

correspondendo a fazer h → 0 primeiro, ou a fazer k → 0 primeiro. A ordem de aplicação pode importar ao olhar para os termos de primeira ordem. Isto leva à construção de exemplos patológicos nos quais as segundas derivadas não são simétricas. Este tipo de exemplo pertence à teoria da Análise real, onde o valor pontual das funções é relevante. Quando vista como uma distribuição, os valores da segunda derivada parcial podem ser alterados num conjunto arbitrário de pontos, desde que este tenha Medida de Lebesgue 0. Como no exemplo a Hessiana é simétrica em todos os pontos exceto em (0, 0), não há contradição com o facto de a Hessiana, vista como uma Distribuição de Schwartz, ser simétrica.

Considere os operadores diferenciais de primeira ordem D_i como operadores infinitesimais no espaço euclidiano. Isto é, D_i, num certo sentido, gera o grupo a um parâmetro de translações paralelas ao eixo-x_i. Estes grupos comutam entre si e, portanto, os geradores infinitesimais também o fazem; o colchete de Lie

é o reflexo desta propriedade. Em outras palavras, a derivada de Lie de uma coordenada em relação a outra é zero.

O teorema de Clairaut-Schwarz é o fato fundamental necessário para provar que, para cada forma diferencial ${\displaystyle C^{\infty }}$ (ou pelo menos duas vezes diferenciável) ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(M)}$, a segunda derivada exterior se anula: ${\displaystyle d^{2}\omega$ :=d(d\omega )=0} . Isto implica que toda forma exata diferenciável (ou seja, uma forma ${\displaystyle \alpha }$ tal que ${\displaystyle \alpha =d\omega }$ para alguma forma ${\displaystyle \omega }$) é fechada (ou seja, ${\displaystyle d\alpha =0}$), dado que ${\displaystyle d\alpha =d(d\omega )=0}$.^[38]

No meio do século XVIII, a teoria das formas diferenciais foi estudada pela primeira vez no caso mais simples de 1-formas no plano, i.e., ${\displaystyle A,dx+B,dy}$, onde ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ são funções no plano. O estudo de 1-formas e das diferenciais de funções começou com os artigos de Clairaut em 1739 e 1740. Naquele estágio, suas investigações foram interpretadas como formas de resolver equações diferenciais ordinárias. Formalmente, Clairaut mostrou que uma 1-forma ${\displaystyle \omega =A,dx+B,dy}$ em um retângulo aberto é fechada, i.e., ${\displaystyle d\omega =0}$, se e somente se ${\displaystyle \omega }$ tem a forma ${\displaystyle df}$ para alguma função ${\displaystyle f}$ no disco. A solução para ${\displaystyle f}$ pode ser escrita pela fórmula integral de Cauchy

$${\displaystyle f(x,y)=\int _{x_{0}}^{x}A(x,y),dx+\int _{y_{0}}^{y}B(x,y),dy;}$$

ao passo que, se ${\displaystyle \omega =df}$, a propriedade de ser fechada ${\displaystyle d\omega =0}$ é a identidade ${\displaystyle \partial _{x}\partial _{y}f=\partial _{y}\partial _{x}f}$. (Em linguagem moderna, esta é uma versão do Lema de Poincaré.)^[39]