Teorema de Arzelà-Ascoli

Em matemática, o teorema de Arzelà-Ascoli é um importante resultado, com aplicações na análise real, análise funcional e em áreas afins tais como a teoria das equações diferenciais. Provém dos matemáticos italianos Cesare Arzelà e Giulio Ascoli.

Seja ${\displaystyle {\mathfrak {F}}\,}$ uma sequência de funções ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbf {R} \,}$ com as seguintes propriedades:

• Equicontinuidade, ou seja, para cada ${\displaystyle \varepsilon >0\,}$ e cada ${\displaystyle x\,}$ em ${\displaystyle [a,b]}$, existe um ${\displaystyle \delta >0\,}$ tal que ${\displaystyle |x-y|<\delta \Longrightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon ,\forall f\in {\mathfrak {F}}\,}$.
• Limitação pontual, ou seja, para cada ${\displaystyle x}$ em ${\displaystyle [a,b]}$ existe uma constante ${\displaystyle C\,}$ tal que ${\displaystyle |f(x)|<C,\;\forall f\in {\mathfrak {F}}\,}$.

Então existe uma subseqüência ${\displaystyle f_{n}(x)\,}$ e uma função contínua ${\displaystyle f(x)\,}$ tal que ${\displaystyle f_{n}(x)\,}$ converge uniformemente para ${\displaystyle f(x)\,}$.

De uma forma mais simples, o teorema pode ser enunciado da seguinte forma:

Considere uma sequência de funções contínuas ${\displaystyle (f_{n}(x))\,}$ definidas em um intervalo fechado ${\displaystyle [a,b]}$ dos reais. Se essa sequência é pontualmente limitada e equicontínua, então existe uma subsequência que converge uniformemente.

Isso significa, por exemplo, que o teorema funciona para funções deriváveis tais que ela e sua derivada são uniformemente limitadas. Se a derivada segunda também é uniformemente limitada, as derivadas também convergem uniformemente.

Para qualquer ${\displaystyle x\in [a,b]}$ temos, por hipótese, que ${\displaystyle |f_{n}(x)|<C}$, para todo ${\displaystyle n}$. Portanto ${\displaystyle f_{n}(x)}$ é uma sequência em ${\displaystyle \mathbb {R} }$ limitada. Mas tais sequências sempre possuem uma subsequência convergente (isso segue do Teorema de Bolzano-Weierstrass). Portanto existe alguma subsequência ${\displaystyle f_{m}}$ de ${\displaystyle f_{n}}$ tal que ${\displaystyle f_{m}(x)}$ converge.

Existe um subconjunto ${\displaystyle S\subset [a,b]}$ que é enumerável e denso (por exemplo, o conjunto dos racionais contidos em ${\displaystyle [a,b]}$). Seja ${\displaystyle s_{i}}$ uma enumeração de ${\displaystyle S}$. Para ${\displaystyle s_{1}}$ existe subsequência ${\displaystyle f_{n}^{1}}$ de ${\displaystyle f_{n}}$ tal que ${\displaystyle f_{n}^{1}(s_{1})}$ converge. Mas ${\displaystyle f_{n}^{1}}$ também satisfaz ${\displaystyle |f_{n}^{1}(x)|<C}$, para qualquer ${\displaystyle x\in [a,b]}$. Portanto para ${\displaystyle s_{2}}$ existe subsequência ${\displaystyle f_{n}^{2}}$ de ${\displaystyle f_{n}^{1}}$ tal que ${\displaystyle f_{n}^{2}(s_{2})}$ converge. Podemos repetir o procedimento para ${\displaystyle s_{3},\;s_{4},\;s_{5},\ldots ,s_{i},\ldots }$ para criar uma sequência de subsequências:

${\displaystyle \{f_{n}^{1}\}\subseteq \{f_{n}^{2}\}\subseteq \cdots \subseteq \{f_{n}^{i}\}\subseteq \cdots }$

Agora considere a sequência de funções ${\displaystyle f_{k}^{k}}$, ou seja, a sequência formada pela ${\displaystyle k}$-ésima função da ${\displaystyle k}$-ésima sequência de funções. Para todo ${\displaystyle s_{i}}$, a sequência ${\displaystyle f_{k}^{k}(s_{i})}$ converge. Isso segue do fato que, para ${\displaystyle k>i}$, ${\displaystyle f_{k}^{k}}$ é subsequência de ${\displaystyle f_{n}^{i}}$. Como ${\displaystyle f_{n}^{i}(s_{i})}$ converge, ${\displaystyle f_{k}^{k}(s_{i})}$ deve também convergir. Portanto ${\displaystyle f_{k}^{k}}$ converge pontualmente em ${\displaystyle S}$.

Para simplificar notação, defina ${\displaystyle g_{k}:=f_{k}^{k}}$.

Queremos mostrar que ${\displaystyle g_{k}}$ converge uniformemente, ou seja, que para todo ${\displaystyle \varepsilon >0}$ existe algum ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ tal que para todo ${\displaystyle x}$ em ${\displaystyle [a,b]}$,

${\displaystyle |g_{j}(x)-g_{i}(x)|<\varepsilon }$,

sempre que ${\displaystyle i,j>N}$ (estamos usando o fato que em ${\displaystyle \mathbb {R} }$ sequências convergentes são equivalentes a sequências de Cauchy). Note que

${\displaystyle |g_{j}(x)-g_{i}(x)|\leq |g_{j}(x)-g_{j}(y)|+|g_{j}(y)-g_{i}(y)|+|g_{i}(y)-g_{i}(x)|}$,

para qualquer ${\displaystyle y\in [a,b]}$. O primeiro e terceiro termo do lado direito da desigualdade acima pode ser tomado arbitrariamente pequeno em decorrência da equicontinuidade de ${\displaystyle g_{k}}$: para todo ${\displaystyle \eta >0}$ existe ${\displaystyle \delta >0}$ tal que

${\displaystyle |y-x|<\delta \;\;\Rightarrow \;\;|g_{i}(y)-g_{i}(x)|<\eta ,\;|g_{j}(y)-g_{j}(x)|<\eta }$.

Como S é denso em ${\displaystyle [a,b]}$ temos que para qualquer ${\displaystyle \delta >0}$ os conjuntos ${\displaystyle U_{s}:=\{x:|s-x|<\delta \}}$, para ${\displaystyle s\in S}$, cobrem ${\displaystyle [a,b]}$, isto é, ${\displaystyle [a,b]\subseteq \bigcup _{s\in S}U_{s}}$. Mas ${\displaystyle [a,b]}$ é compacto (pelo Teorema de Heine-Borel), portanto existem ${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{m}}$ tais que ${\displaystyle [a,b]\subseteq U_{1}\cup \cdots \cup U_{m}}$. Portanto para todo ${\displaystyle x}$ em ${\displaystyle [a,b]}$ existe algum ${\displaystyle s_{l}}$, ${\displaystyle l\in \{1,\ldots ,m\}}$, tal que

${\displaystyle |s_{l}-x|<\delta }$,

portanto tal que

${\displaystyle |g_{i}(s_{l})-g_{i}(x)|<\eta ,\;|g_{j}(s_{l})-g_{j}(x)|<\eta }$.

Segue que para todo ${\displaystyle x}$ em ${\displaystyle [a,b]}$ algum ${\displaystyle s_{l}}$ satisfaz

${\displaystyle |g_{j}(x)-g_{i}(x)|\leq |g_{j}(s_{l})-g_{i}(s_{l})|+2\eta }$.

O conjunto ${\displaystyle \{s_{1},\ldots ,s_{m}\}\subset S}$ depende da escolha de ${\displaystyle \eta }$, mas o que importa é que ele é sempre finito.

Como ${\displaystyle g_{k}(s_{l})}$ converge, para todo ${\displaystyle l\in \{1,\ldots ,m\}}$, temos que para todo ${\displaystyle \lambda >0}$ existe ${\displaystyle N_{l}\in \mathbb {N} }$ tal que ${\displaystyle i,j>N_{l}}$ implica

${\displaystyle |g_{j}(s_{l})-g_{i}(s_{l})|<\lambda }$.

Mas como temos finitos ${\displaystyle N_{l}}$ existe algum ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ que é maior que todos os ${\displaystyle N_{l}}$. Portanto se ${\displaystyle i,j>N}$ temos

${\displaystyle |g_{j}(x)-g_{i}(x)|\leq 2\eta +\lambda }$,

para todo ${\displaystyle x}$ em ${\displaystyle [a,b]}$. Para concluir a demonstração, note que ${\displaystyle \eta ,\lambda }$ foram escolhidos de forma arbitrária e independente, portanto para qualquer ${\displaystyle \varepsilon >0}$ eles poderiam ter sido escolhidos tais que ${\displaystyle 2\eta +\lambda <\varepsilon }$.

Um resultado análogo é válido quando o domínio e codomínio das funções ${\displaystyle f_{n}}$ são espaços métricos (o que é suficiente para que os conceitos de equicontinuidade e limitação pontual sejam bem-definidos), o domínio é compacto e o codomínio é completo. Para que o argumento apresentado acima seja válido nesse contexto mais geral, basta demonstrar que o domínio ser métrico e compacto implica que ele possui subconjunto enumerável e denso.

Seja ${\displaystyle X}$ um espaço métrico compacto. Para algum ${\displaystyle \delta >0}$ definimos os conjuntos ${\displaystyle B(x;\delta ):=\{y\in X:|y-x|<\delta \}}$. Então a união ${\displaystyle \bigcup _{x\in X}B(x;\delta )}$ cobre ${\displaystyle X}$. Mas ${\displaystyle X}$ é compacto, portanto deve haver uma subcobertura finita, ou seja, finitos pontos ${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{n}}$ tais que ${\displaystyle B(s_{1};\delta )\cup \cdots \cup B(s_{n};\delta )}$ cobre ${\displaystyle X}$.

Considere agora a sequência ${\displaystyle \delta _{i}}$ tal que ${\displaystyle \delta _{i}>0,\;\delta _{i}\rightarrow 0}$. Para cada ${\displaystyle i}$ existe um conjunto ${\displaystyle S_{i}:=\{s_{1}^{i},\ldots ,s_{m_{i}}^{i}\}}$ tal que ${\displaystyle B(s_{1}^{i};\delta )\cup \cdots \cup B(s_{m_{i}}^{i};\delta )}$. Cada ponto de ${\displaystyle X}$ está a uma distância menor que ${\displaystyle \delta _{i}}$ de algum elemento de ${\displaystyle S_{i}}$, portanto ${\displaystyle \bigcup _{i\in \mathbb {N} }S_{i}}$ é denso em ${\displaystyle X}$. Mas cada ${\displaystyle S_{i}}$ é finito, portanto ${\displaystyle \bigcup _{i\in \mathbb {N} }S_{i}}$ é enumerável.

• Lima, Elon Lages (2017), Espaços Métricos, ISBN 978-85-244-0158-9 5ª ed. ed. , Rio de Janeiro: IMPA  !CS1 manut: Texto extra (link)
• Rudin, Walter (1976), Principles of Mathematical Analysis, ISBN 0-07-054235-X, New York: McGraw-Hill