Setor hiperbólico

A demonstração dessa propriedade utiliza o cálculo integral:

1. A área sob a curva ${\displaystyle y=1/x}$ entre ${\displaystyle x=1}$ e ${\displaystyle x=b}$ é dada por ${\displaystyle \int _{1}^{b}{\frac {1}{x}}\,dx=\ln(b)}$.
2. Para obter o setor, somamos a área do triângulo retângulo formado pelos pontos ${\displaystyle (0,0)}$, ${\displaystyle (1,0)}$ e ${\displaystyle (1,1)}$, que possui área ${\displaystyle {\frac {1\cdot 1}{2}}=0,5}$.
3. Em seguida, subtraímos a área do triângulo formado pelos pontos ${\displaystyle (0,0)}$, ${\displaystyle (b,0)}$ e ${\displaystyle (b,1/b)}$, que possui área ${\displaystyle {\frac {b\cdot (1/b)}{2}}=0,5}$.
4. Como as áreas dos dois triângulos são idênticas (${\displaystyle 0,5}$), elas se anulam, resultando em uma área total para o setor exatamente igual a ${\displaystyle \ln(b)}$.