Provas de identidades trigonométricas

As seis funções trigonométricas são definidas para todo número real, exceto, para algumas delas, para ângulos que diferem de 0 por um múltiplo do ângulo reto (90°). Referindo-se ao diagrama na direita, as seis funções trigonométricas de θ são, para ângulos menores que o ângulo reto:

${\displaystyle \operatorname {sen}(\theta )={\frac {\mathrm {oposto} }{\mathrm {hipotenusa} }}={\frac {a}{h}}}$

${\displaystyle \cos(\theta )={\frac {\mathrm {adjacente} }{\mathrm {hipotenusa} }}={\frac {b}{h}}}$

${\displaystyle \tan(\theta )={\frac {\mathrm {oposto} }{\mathrm {adjacente} }}={\frac {a}{b}}}$

${\displaystyle \cot(\theta )={\frac {\mathrm {adjacente} }{\mathrm {oposto} }}={\frac {b}{a}}}$

${\displaystyle \sec(\theta )={\frac {\mathrm {hipotenusa} }{\mathrm {adjacente} }}={\frac {h}{b}}}$

${\displaystyle \csc(\theta )={\frac {\mathrm {hipotenusa} }{\mathrm {oposto} }}={\frac {h}{a}}}$

No caso de ângulos menores que um ângulo reto, as seguintes identidades são conseqüências diretas das definições acima através da identidade da divisão

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {\left({\frac {a}{h}}\right)}{\left({\frac {b}{h}}\right)}}.}$

Elas permanecem válidas para ângulos superiores a 90° e para ângulos negativos.

${\displaystyle \tan(\theta )={\frac {\mathrm {oposto} }{\mathrm {adjacente} }}={\frac {\left({\frac {\mathrm {oposto} }{\mathrm {hipotenusa} }}\right)}{\left({\frac {\mathrm {adjacente} }{\mathrm {hipotenusa} }}\right)}}={\frac {\operatorname {sen}(\theta )}{\cos(\theta )}}}$

${\displaystyle \cot(\theta )={\frac {\mathrm {adjacente} }{\mathrm {oposto} }}={\frac {\left({\frac {\mathrm {adjacente} }{\mathrm {adjacente} }}\right)}{\left({\frac {\mathrm {oposto} }{\mathrm {adjacente} }}\right)}}={\frac {1}{\tan(\theta )}}={\frac {\cos(\theta )}{\operatorname {sen}(\theta )}}}$

${\displaystyle \sec(\theta )={\frac {1}{\cos(\theta )}}={\frac {\mathrm {hipotenusa} }{\mathrm {adjacente} }}}$

${\displaystyle \csc(\theta )={\frac {1}{\operatorname {sen}(\theta )}}={\frac {\mathrm {hipotenusa} }{\mathrm {oposto} }}}$

${\displaystyle \tan(\theta )={\frac {\mathrm {oposto} }{\mathrm {adjacente} }}={\frac {\left({\frac {\mathrm {oposto} \times \mathrm {hipotenusa} }{\mathrm {oposto} \times \mathrm {adjacente} }}\right)}{\left({\frac {\mathrm {adjacente} \times \mathrm {hipotenusa} }{\mathrm {oposto} \times \mathrm {adjacente} }}\right)}}={\frac {\left({\frac {\mathrm {hipotenusa} }{\mathrm {adjacente} }}\right)}{\left({\frac {\mathrm {hipotenusa} }{\mathrm {oposto} }}\right)}}={\frac {\sec(\theta )}{\csc(\theta )}}}$

Ou

${\displaystyle \tan(\theta )={\frac {\operatorname {sen}(\theta )}{\cos(\theta )}}={\frac {\left({\frac {1}{\csc(\theta )}}\right)}{\left({\frac {1}{\sec(\theta )}}\right)}}={\frac {\left({\frac {\csc(\theta )\sec(\theta )}{\csc(\theta )}}\right)}{\left({\frac {\csc(\theta )\sec(\theta )}{\sec(\theta )}}\right)}}={\frac {\sec(\theta )}{\csc(\theta )}}}$

${\displaystyle \cot(\theta )={\frac {\csc(\theta )}{\sec(\theta )}}}$

Dois ângulos cuja soma é π/2 radianos (90 graus) são complementares. No diagrama, os ângulos nos vértices A e B são complementares, assim podemos intercambiar a e b, mudando θ para π/2 − θ, obtendo:

${\displaystyle \operatorname {sen} \left(\pi /2-\theta \right)=\cos(\theta )}$

${\displaystyle \cos \left(\pi /2-\theta \right)=\operatorname {sen}(\theta )}$

${\displaystyle \tan \left(\pi /2-\theta \right)=\cot(\theta )}$

${\displaystyle \cot \left(\pi /2-\theta \right)=\tan(\theta )}$

${\displaystyle \sec \left(\pi /2-\theta \right)=\csc(\theta )}$

${\displaystyle \csc \left(\pi /2-\theta \right)=\sec(\theta )}$

Identidade 1:

${\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1}$

Os dois resultados a seguir seguem desta e das identidades de proporção. Para obter o primeiro, dividir ambos os lados de ${\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1}$ por ${\displaystyle \cos ^{2}(x)}$; para o segundo, dividir por ${\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}(x)}$.

${\displaystyle \tan ^{2}(x)+1\ =\sec ^{2}(x)}$

${\displaystyle \sec ^{2}(x)-\tan ^{2}(x)=1}$

Similarmente

${\displaystyle 1\ +\cot ^{2}(x)=\csc ^{2}(x)}$

${\displaystyle \csc ^{2}(x)-\cot ^{2}(x)=1}$

Identidade 2:

A identidade seguinte envolve todas as três funções recíprocas.

${\displaystyle \csc ^{2}(x)+\sec ^{2}(x)-\cot ^{2}(x)=2\ +\tan ^{2}(x)}$

Prova 2:

Considerar o diagrama do triângulo acima. Notar que ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=h^{2}}$ pelo teorema de Pitágoras.

${\displaystyle \csc ^{2}(x)+\sec ^{2}(x)={\frac {h^{2}}{a^{2}}}+{\frac {h^{2}}{b^{2}}}={\frac {a^{2}+b^{2}}{a^{2}}}+{\frac {a^{2}+b^{2}}{b^{2}}}=2\ +{\frac {b^{2}}{a^{2}}}+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}}$

Substituindo com funções apropriadas

${\displaystyle 2\ +{\frac {b^{2}}{a^{2}}}+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}=2\ +\tan ^{2}(x)+\cot ^{2}(x)}$

Rearranjando resulta:

${\displaystyle \csc ^{2}(x)+\sec ^{2}(x)-\cot ^{2}(x)=2\ +\tan ^{2}(x)}$

Das identidades para soma de ângulos resulta

${\displaystyle \operatorname {sen}(2\theta )=2\operatorname {sen}(\theta )\cos(\theta )}$

e

${\displaystyle \cos(2\theta )=\cos ^{2}(\theta )-\operatorname {sen} ^{2}(\theta )}$

As identidades pitagóricas dão as duas formas alternativas para a último destes:

${\displaystyle \cos(2\theta )=2\cos ^{2}(\theta )-1}$

${\displaystyle \cos(2\theta )=1-2\operatorname {sen} ^{2}(\theta )}$

As identidades de soma dos ângulos também fornecem

${\displaystyle \tan(2\theta )={\frac {2\tan(\theta )}{1-\tan ^{2}\theta }}={\frac {2}{\cot(\theta )-\tan(\theta )}}}$

${\displaystyle \cot(2\theta )={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot(\theta )}}={\frac {\cot(\theta )-\tan(\theta )}{2}}}$

Também pode ser provado usando a fórmula de Euler

${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos(\varphi )+i\operatorname {sen}(\varphi )}$

Elevando ambos os lados ao quadrado

${\displaystyle e^{i2\varphi }=(\cos(\varphi )+i\operatorname {sen}(\varphi ))^{2}}$

Substituindo o ângulo pela sua versão dupla, que fornece o mesmo resultado no lado esquerdo da equação, resulta

${\displaystyle e^{i2\varphi }=\cos(2\varphi )+i\operatorname {sen}(2\varphi )}$

Segue que

${\displaystyle (\cos(\varphi )+i\operatorname {sen}(\varphi ))^{2}=\cos(2\varphi )+i\operatorname {sen}(2\varphi )}$.

Expandindo o quadrado e simplificando no lado esquerdo da equação resulta

${\displaystyle i(2\operatorname {sen}(\varphi )\cos(\varphi ))+\cos ^{2}(\varphi )-\operatorname {sen} ^{2}(\varphi )\ =\cos(2\varphi )+i\operatorname {sen}(2\varphi )}$.

Como as partes real e imaginária da equação devem ser iguais, resulta

${\displaystyle \cos ^{2}(\varphi )-\operatorname {sen} ^{2}(\varphi )\ =\cos(2\varphi )}$,

e

${\displaystyle 2\operatorname {sen}(\varphi )\cos(\varphi )=\operatorname {sen}(2\varphi )}$.

As duas identidades que fornecem as formas alternativas para cos(2θ) levam às seguintes equações:

${\displaystyle \cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos(\theta )}{2}}},}$

${\displaystyle \operatorname {sen} \left({\frac {\theta }{2}}\right)=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos(\theta )}{2}}}.}$

O sinal da raiz quadrada deve ser escolhido adequadamente—notar que se 2π é adicionado a θ, as quantidades na raiz quadrada não são alteradas, mas os lados esquerdos das equações mudam de sinal. Assim, o sinal correto a usar depende do valor de θ.

Para a função tangente a equação é:

${\displaystyle \tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos(\theta )}{1+\cos(\theta )}}}.}$

Multiplicando então o numerador e o denominador dentro da raiz quadrada por (1 + cos(θ)) e usando identidades pitagóricas leva a

${\displaystyle \tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {\operatorname {sen}(\theta )}{1+\cos(\theta )}}.}$

Além disso, se o numerador e o denominador forem ambos multiplicados por (1 - cos(θ)), o resultado é

${\displaystyle \tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {1-\cos(\theta )}{\operatorname {sen}(\theta )}}.}$

Isso também fornece

${\displaystyle \tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)=\csc(\theta )-\cot(\theta ).}$

Manipulações similares para a função cot fornecem

${\displaystyle \cot \left({\frac {\theta }{2}}\right)=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos(\theta )}{1-\cos(\theta )}}}={\frac {1+\cos(\theta )}{\operatorname {sen}(\theta )}}={\frac {\operatorname {sen}(\theta )}{1-\cos(\theta )}}=\csc(\theta )+\cot(\theta ).}$

Se ${\displaystyle \psi +\theta +\phi =\pi =}$ meia circunferência (por exemplo, ${\displaystyle \psi }$, ${\displaystyle \theta }$ e ${\displaystyle \phi }$ são os ângulos de um triângulo),

${\displaystyle \tan(\psi )+\tan(\theta )+\tan(\phi )=\tan(\psi )\tan(\theta )\tan(\phi ).}$

Prova:^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi &=\pi -\theta -\phi \\\tan(\psi )&=\tan(\pi -\theta -\phi )\\&=-\tan(\theta +\phi )\\&={\frac {-\tan(\theta )-\tan(\phi )}{1-\tan(\theta )\tan(\phi )}}\\&={\frac {\tan(\theta )+\tan(\phi )}{\tan(\theta )\tan(\phi )-1}}\\(\tan(\theta )\tan(\phi )-1)\tan(\psi )&=\tan(\theta )+\tan(\phi )\\\tan(\psi )\tan(\theta )\tan(\phi )-\tan(\psi )&=\tan(\theta )+\tan(\phi )\\\tan(\psi )\tan(\theta )\tan(\phi )&=\tan(\psi )+\tan(\theta )+\tan(\phi )\\\end{aligned}}}$

Se ${\displaystyle \psi +\theta +\phi ={\tfrac {\pi }{2}}=}$ um quarto de circunferência,

${\displaystyle \cot(\psi )+\cot(\theta )+\cot(\phi )=\cot(\psi )\cot(\theta )\cot(\phi )}$.

Prova: Substituir cada um dos ${\displaystyle \psi }$, ${\displaystyle \theta }$ e ${\displaystyle \phi }$ com seus ângulos complementares, então as cotangentes se transformam em tangentes e vice-versa.

Dado

${\displaystyle \psi +\theta +\phi ={\tfrac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \therefore ({\tfrac {\pi }{2}}-\psi )+({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )+({\tfrac {\pi }{2}}-\phi )={\tfrac {3\pi }{2}}-(\psi +\theta +\phi )={\tfrac {3\pi }{2}}-{\tfrac {\pi }{2}}=\pi }$

então o resultado segue da identidade da tripla tangente.

• ${\displaystyle \operatorname {sen}(\theta )\pm \cos(\phi )=2\operatorname {sen} \left({\frac {\theta \pm \phi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta \mp \phi }{2}}\right)}$
• ${\displaystyle \cos(\theta )+\cos(\phi )=2\cos \left({\frac {\theta +\phi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)}$
• ${\displaystyle \cos(\theta )-\cos(\phi )=-2\operatorname {sen} \left({\frac {\theta +\phi }{2}}\right)\operatorname {sen} \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)}$

A figura na direita mostra um setor de um círculo com raio 1. O setor é θ/(2π) de todo o círculo, portanto sua área é θ/2. É assumido que θ < π/2.

${\displaystyle OA=OD=1}$

${\displaystyle AB=\operatorname {sen}(\theta )}$

${\displaystyle CD=\tan(\theta )}$

A área do triângulo OAD é AB/2, ou sen(θ)/2. A área do triângulo OCD é CD/2, oo tan(θ)/2.

Como o triângulo OAD está completamente dentro do setor, que por sua vez fica completamente dentro do triângulo OCD, temos

${\displaystyle \operatorname {sen}(\theta )<\theta <\tan(\theta ).}$

Este argumento geométrico baseia-se nas definições de comprimento do arco e área, que atuam como premissas, portanto é mais uma condição imposta na construção de funções trigonométricas do que uma propriedade comprovável.^[2] Para a função seno podemos lidar com outros valores. Se θ > π/2, então θ > 1. Mas sen θ ≤ 1 (por causa da identidade pitagórica), então sen θ < θ. Temos então

${\displaystyle {\frac {\operatorname {sen}(\theta )}{\theta }}<1\ \ \ \mathrm {se} \ \ \ 0<\theta .}$

Para valores negativos de θ temos, pela simetria da função seno

${\displaystyle {\frac {\operatorname {sen}(\theta )}{\theta }}={\frac {\operatorname {sen}(-\theta )}{-\theta }}<1.}$

Então

${\displaystyle {\frac {\operatorname {sen}(\theta )}{\theta }}<1\quad {\text{se }}\quad \theta \neq 0,}$

e

${\displaystyle {\frac {\tan(\theta )}{\theta }}>1\quad {\text{se }}\quad 0<\theta <{\frac {\pi }{2}}.}$

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\operatorname {sen}(\theta )}=0}$

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\cos(\theta )}=1}$

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\operatorname {sen}(\theta )}{\theta }}=1.}$

Em outras palavras, a função seno é diferenciável em 0, e sua derivada é 1.

Prova: Das desigualdades prévias temos, para ângulos pequenos,

${\displaystyle \operatorname {sen}(\theta )<\theta <\tan(\theta )}$,

e portanto

${\displaystyle {\frac {\operatorname {sen}(\theta )}{\theta }}<1<{\frac {\tan(\theta )}{\theta }}}$,

e consideremos a desigualdade do lado direito. Como

${\displaystyle \tan(\theta )={\frac {\operatorname {sen}(\theta )}{\cos(\theta )}}}$

${\displaystyle \therefore 1<{\frac {\operatorname {sen}(\theta )}{\theta \cos(\theta )}}.}$

Multiplicando por ${\displaystyle \cos(\theta )}$

${\displaystyle \cos(\theta )<{\frac {\operatorname {sen}(\theta )}{\theta }}.}$

Combinando com a desigualdade do lado esquerdo:

${\displaystyle \cos(\theta )<{\frac {\operatorname {sen}(\theta )}{\theta }}<1.}$

Tomando ${\displaystyle \cos(\theta )}$ no limite ${\displaystyle \theta \to 0}$

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\cos(\theta )}=1.}$

Portanto,

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\operatorname {sen}(\theta )}{\theta }}=1}$

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {1-\cos(\theta )}{\theta }}=0}$

Prova:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1-\cos(\theta )}{\theta }}&={\frac {1-\cos ^{2}(\theta )}{\theta (1+\cos(\theta ))}}\\&={\frac {\operatorname {sen} ^{2}(\theta )}{\theta (1+\cos(\theta ))}}\\&=\left({\frac {\operatorname {sen}(\theta )}{\theta }}\right)\times \operatorname {sen}(\theta )\times \left({\frac {1}{1+\cos(\theta )}}\right)\\\end{aligned}}}$

Os limites destas três quantidades são 1, 0 e 1/2, então o limite resultante é zero.

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {1-\cos(\theta )}{\theta ^{2}}}={\frac {1}{2}}}$

Prova:

Como na prova precedente,

${\displaystyle {\frac {1-\cos(\theta )}{\theta ^{2}}}={\frac {\operatorname {sen}(\theta )}{\theta }}\times {\frac {\operatorname {sen}(\theta )}{\theta }}\times {\frac {1}{1+\cos(\theta )}}.}$

Os limites destas três quantidades são 1, 1 e 1/2, então o limite resultante é 1/2.

Todas estas funções seguem da identidade trigonométrica pitagórica. Podemos provar por exemplo a função

${\displaystyle \operatorname {sen}[\arctan(x)]={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$

Prova:

Partindo de

${\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1}$

dividimos esta equação por ${\displaystyle \cos ^{2}(\theta )}$

${\displaystyle \cos ^{2}(\theta )={\frac {1}{\tan ^{2}(\theta )+1}}.}$

Então usando a substituição ${\displaystyle \theta =\arctan(x)}$, e também usando a identidade trigonométrica pitagórica:

${\displaystyle 1-\operatorname {sen} ^{2}[\arctan(x)]={\frac {1}{\tan ^{2}[\arctan(x)]+1}}.}$

Então usando a identidade ${\displaystyle \tan[\arctan(x)]\equiv x}$

${\displaystyle \operatorname {sen}[\arctan(x)]={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}.}$