Polinómios de Bernstein

Em matemática, um polinômio de Bernstein é um polinômio da forma:

${\displaystyle B_{i}^{n}(x)={n \choose i}x^{i}(1-x)^{n-i}}$

O conjunto ${\displaystyle \{B_{i}^{n}\}_{i=0}^{n}}$ forma uma base para os polinômios de grau até n. Isto é, se ${\displaystyle P(x)}$ é um polinômio de grau menor ou igual a n, então pode ser escrito na forma:

${\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}\beta _{i}{n \choose i}x^{i}(1-x)^{n-i}}$

Estes polinômios foram estudados por Sergei Natanovich Bernstein e utilizados para dar uma prova construtiva do teorema de Stone-Weierstrass.

No caso dos polinômios de grau ${\displaystyle 3}$ a base é composta de:

• ${\displaystyle B_{0}^{3}(x)={3 \choose 0}x^{0}(1-x)^{3-0}=(1-x)^{3}}$
• ${\displaystyle B_{1}^{3}(x)={3 \choose 1}x^{1}(1-x)^{3-1}=3x(1-x)^{2}}$
• ${\displaystyle B_{2}^{3}(x)={3 \choose 2}x^{2}(1-x)^{3-2}=3x^{2}(1-x)}$
• ${\displaystyle B_{3}^{3}(x)={3 \choose 3}x^{3}(1-x)^{3-3}=x^{3}}$

Todo polinômio de grau 3 pode ser escrito nesta base como:

${\displaystyle P(x)=c_{0}B_{0}^{3}(x)+c_{1}B_{1}^{3}(x)+c_{2}B_{2}^{3}(x)+c_{3}B_{3}^{3}(x)}$

Estes polinômios possuem propriedades importantes:

• Partição da unidade:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}B_{i}^{n}(x)=1}$,

• Não-negatividade no intervalo de 0 a 1:

${\displaystyle B_{i}^{n}(x)\geq 0,\in [0,1]}$,

• Relação de recorrência:

${\displaystyle B_{i}^{n}(x)=(1-x)B_{i}^{n-1}(x)+xB_{i-1}^{n-1}(x)}$.

• Simetria:

${\displaystyle B_{i}^{n}(x)=B_{n-i}^{n}(1-x)}$

• Produto:

${\displaystyle B_{i}^{n}(x)B_{j}^{m}(x)}$ ${\displaystyle ={\frac {{n \choose i}{m \choose j}}{{n+m} \choose {i+j}}}B_{n+m}^{i+j}(x)}$

• Derivada:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}B_{i}^{n}(x)=n\left(B_{i-1}^{n-1}(x)-B_{i}^{n-1}(x)\right)}$ ficando bem convencionado que ${\displaystyle B_{i}^{n}(x)=0{\hbox{ se }}i<0{\hbox{ ou }}i>n}$

• Representação em grau superior:

${\displaystyle B_{i}^{n}(x)={\frac {n+1-i}{n+1}}B_{i}^{n+1}(x)+{\frac {i+1}{n+1}}B_{i+1}^{n+1}(x)}$

• Pontos de máximo:

${\displaystyle B_{i}^{n}(x)\,}$ assume valor máximo no intervalo ${\displaystyle [0,1]\,}$ em ${\displaystyle x={\frac {i}{n}}\,}$. Este máximo é local se ${\displaystyle 0<i<n\,}$.

A segunda destas propriedades é óbvia. Para demonstrar a primeira, escreva:

${\displaystyle [x+(1-x)]^{n}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}x^{i}(1-x)^{n-i}}$

A terceira pode ser provada simplesmente substituindo a definição e simplificando os binômios usando a fórmula do triângulo de Pascal. As demais também são mostradas por simples verificação.

Para obter uma representação de ${\displaystyle x^{k}}$ como polinômio de Bernstein, escreva:

${\displaystyle (u+v)^{n}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}u^{i}v^{n-i}}$

Agora diferencie em relação a ${\displaystyle u}$ e multiplique por u/n para obter:

${\displaystyle u(u+v)^{n-1}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}{\frac {i}{n}}u^{i}v^{n-i}}$

se fizermos ${\displaystyle u=x}$ e ${\displaystyle v=1-x}$, temos:

${\displaystyle x=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}{\frac {i}{n}}x^{i}(1-x)^{n-i}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {i}{n}}B_{i}^{n}(x),~n\geq 1}$

Se tivéssemos diferenciado duas vezes em relação a u, teríamos tido:

${\displaystyle u^{2}(u+v)^{n-2}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}{\frac {i(i-1)}{n(n-1)}}u^{i}v^{n-i}}$

e teríamos obtido:

${\displaystyle x^{2}=\sum _{i=2}^{n}{\frac {i(i-1)}{n(n-1)}}B_{i}^{n}(x),~n\geq 2}$

Ou ainda, poderiamos expandir o argumento de forma a obter para ${\displaystyle k\leq n}$:

${\displaystyle x^{k}=\sum _{i=k}^{n}{\frac {i(i-1)\ldots (i-k+1)}{n(n-1)\ldots (n-k+1)}}B_{i}^{n}(x),~n\geq 3}$

Seja ${\displaystyle f(x):[0,1]\to \mathbb {R} }$, o polinômio de Bernstein de grau n associado a ${\displaystyle f(x)}$ é dado por:

${\displaystyle P_{n}(x)=\sum _{i=0}^{n}f\left({\frac {i}{n}}\right)B_{i}^{n}(x)}$^[1]

Se ${\displaystyle f(x)}$ for uma função contínua, então ${\displaystyle P_{n}(x)}$ converge uniformemente para ${\displaystyle f(x)}$ quando n tende a infinito. Este fato é provado em teorema de Stone-Weierstrass.

${\displaystyle }$

• Interpolação polinomial
• Binómio de Newton
• Teorema de Stone-Weierstrass