Polígono simples

Um polígono simples é um polígono cujos lados não adjacentes não se interceptam. Um polígono simples divide o plano geométrico que o contém em duas regiões: a região interior ao polígono e a região exterior a ele. Um polígono que não é simples é denominado polígono complexo.

Também chamado de polígonos de Jordan, esses polígonos são tópicos recorrentes na geometria computacional, abordando triangulação de polígonos e menores caminhos percorridos em seu interior.

Um polígono simples é uma curva fechada no plano constituída apenas de segmentos de reta, formando uma cadeia poligonal.^[1] Dois segmento de reta se encontram apenas nas extremidades e não há outros pontos de interseção entre esses segmentos.^[2]

Os segmentos de reta são chamados de arestas, enquanto os pontos de interseção entre as arestas são os vértices.^[2] Dois vértices são vizinhos se estão nas extremidades opostas de uma mesma aresta.^[3] A diagonal do polígono simples é qualquer segmento de reta que tenha dois vértices não vizinhos como extremidades e que esteja inteiramente contida no interior do polígono.^[4]

Matematicamente, podemos definir o polígono ${\displaystyle P}$ como a figura em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle P=[v_{i},v_{2},...,v_{n}]}$ formado por ${\displaystyle n}$ pontos ${\displaystyle v_{i},v_{2},...,v_{n}}$ em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, pelos segmentos de reta ${\displaystyle [v_{i},v_{i+1}],i=1,2,...,n-1}$ e pelo segmento de reta ${\displaystyle [v_{n},v_{1}]}$, sendo ${\displaystyle n\geq 3}$.^[5]

Apesar da definição formal do polígono simples ser tipicamente um sistema de segmentos de reta, é comum na linguagem informal definí-lo como um conjunto fechado no plano, sendo a união entre esses segmentos de reta com o interior do polígono.^[2]

Às vezes, os polígonos simples são chamados de polígonos de Jordan, uma vez que são curva de Jordan,^[6].em homenagem a Camille Jordan.^[7]

Todo polígono convexo é um polígono simples. Além disso, outra classe especial de polígono simples é o polígono com formato de estrela, em que ele contém um ponto da onde todo perímetro é visível.^[2]

Na geometria computacional, há diversos problemas envolvendo os polígonos simples.

• O problema ponto em polígono pondera se dado um ponto no plano, ele se encontra dentro ou fora do polígono. Pode ser resolvido em um tempo linear ou logarítmico.^[10]
• Há diversos problemas envolvendo a área do interior do polígono, que podem ser resolvidos utilizando o teorema de Pick.^[11][12]
• A triangulação de polígonos simples, tema abordado no problema da galeria de arte, pode ser resolvida por algoritmos em um tempo linear.^[13]
• O caminho geodésico,^[14] isto é, o menor caminho do plano que conecta dois pontos no interior de um polígono sem cruzar o perímetro pode ser utilizado em um tempo linear.^[15] O mesmo é válido para encontrar o centro geodésico, o ponto cujo maior caminho geodésico dentre todos os pontos é o menor possível.^[14]