Fórmula de Binet-Cauchy

Em matemática, e mais precisamente em álgebra linear, a fórmula de Cauchy-Binet é uma fórmula que generaliza o teorema de Binet. A fórmula é útil no cálculo do determinante do produto de duas matrizes em um caso mais geral que aquele considerado no teorema de Binet.

Seja ${\displaystyle R}$ um anel comutativo possuindo elemento multiplicativo idêntico, isto é, um anel comutativo com unidade. Sejam ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ matrizes em ${\displaystyle \operatorname {Mat} _{m,n}(R)}$ e ${\displaystyle \operatorname {Mat} _{n,m}(R)}$, respectivamente. Se ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{n,m}}$ denota o conjunto de ${\displaystyle m}$-tuplas estritamente crescentes com componentes em ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$, das quais há ${\displaystyle \textstyle {\operatorname {card} ({\mathcal {I}}_{n,m})={\binom {n}{m}}}}$, e se ${\displaystyle A_{m,I}\in \operatorname {Mat} _{m,m}(R)}$ é obtida de ${\displaystyle A}$ quando selecionadas as colunas de acordo com ${\displaystyle I}$, e ${\displaystyle B_{I,m}}$ é obtida de ${\displaystyle B}$ selecionando linhas similarmente, então

${\displaystyle \det {AB}=\sum _{I\in {\mathcal {I}}_{n,m}}\det(A_{m,I})\det(B_{I,m})}$,

se ${\displaystyle n\geq m}$ e ${\displaystyle \det(AB)=0}$ caso contrário.

Se ${\displaystyle I=(i_{1},\ldots ,i_{m})}$ está em ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{n,m}}$, escreveremos ${\displaystyle e_{I}=(e_{i_{1}},e_{i_{2}},\ldots ,e_{i_{m}})}$, ${\displaystyle {\widetilde {I}}=\{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{m}\}}$. Consideraremos um elemento de ${\displaystyle R^{n}}$ como uma matriz em ${\displaystyle \operatorname {Mat} _{1,n}(R)}$. Se ${\displaystyle m}$ é um inteiro positivo, escreveremos ${\displaystyle \{k\mid (k\in \mathbb {Z} )\,\&\,(1\leq k\leq m)\}=[m]}$.

A multilinearidade alternada de ${\displaystyle \det$ :\underbrace {R^{k}\times R^{k}\times \cdots \times R^{k}} _{k{\text{ copias}}}\rightarrow R} para um anel comutativo com unidade será usada. Para ver por que ${\displaystyle \det }$ detém essa propriedade, dada uma função ${\displaystyle [k]\times [k]\rightarrow R:(i,j)\mapsto a_{i,j}}$, i.e. uma matriz em ${\displaystyle \operatorname {Mat} _{k,k}(R)}$, para a qual existem ${\displaystyle r,s\in [k]}$ com ${\displaystyle r\neq s}$ e ${\displaystyle a_{r,i}=a_{s,i}}$ para todo ${\displaystyle i\in [k]}$, note que temos a partição do conjunto ${\displaystyle \operatorname {Sym} (k)=\operatorname {Alt} (k)\sqcup {\big (}\!\operatorname {Alt} (k)\cdot (r\,\,\,s){\big )}}$. Daí, uma vez que toda permutação em ${\displaystyle \operatorname {Alt} (k)\cdot (r\,\,\,s)}$ tem sinal ${\displaystyle -1}$, temos

${\displaystyle \sum _{\sigma \in \operatorname {Sym} (k)}\operatorname {sgn} (\sigma )a_{1,\sigma (1)}a_{2,\sigma (2)}\ldots a_{k,\sigma (k)}=\sum _{\beta \in \operatorname {Alt} (k)}(a_{1,\beta (1)}\ldots a_{r,\beta (r)}\ldots a_{s,\beta (s)}\ldots a_{k,\beta (k)})-\sum _{\beta \in \operatorname {Alt} (k)}(a_{1,\beta (1)}\ldots a_{r,\beta (s)}\ldots a_{s,\beta (r)}\ldots a_{k,\beta (k)})}$.

Pela comutatividade de ${\displaystyle R}$,

${\displaystyle \sum _{\sigma \in \operatorname {Sym} (k)}\operatorname {sgn} (\sigma )a_{1,\sigma (1)}a_{2,\sigma (2)}\ldots a_{k,\sigma (k)}=\sum _{\beta \in \operatorname {Alt} (k)}{\big (}a_{r,\beta (r)}a_{s,\beta (s)}-a_{r,\beta (s)}a_{s,\beta (r)}{\big )}\!\!\!\!\prod _{j\in [k]\smallsetminus \{r,s\}}\!\!\!\!a_{j,\beta (j)}}$,

e uma vez que ${\displaystyle a_{r,\beta (s)}=a_{s,\beta (s)}}$, ${\displaystyle a_{s,\beta (r)}=a_{r,\beta (r)}}$, a soma se reduz de fato a zero. Que ${\displaystyle \det }$ é multilinear é imediato.

Voltando à prova da fórmula de Cauchy-Binet:

Fixe ${\displaystyle A\in \operatorname {Mat} _{m,n}(R)}$ e defina a aplicação ${\displaystyle S_{A}:\underbrace {R^{n}\times R^{n}\times \cdots \times R^{n}} _{m{\text{ copias}}}\to R}$ por ${\displaystyle S_{A}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})=\det {\big (}A\cdot (x_{1}^{\textsf {T}}\quad x_{2}^{\textsf {T}}\quad \ldots \quad x_{m}^{\textsf {T}}){\big )}}$. Faça ${\displaystyle y_{r}={\textstyle {\sum _{j_{r}=1}^{n}b_{r,j_{r}}e_{j_{r}}}}}$ e ${\displaystyle B={\big (}y_{1}^{\textsf {T}}\quad y_{2}^{\textsf {T}}\quad \ldots \quad y_{m}^{\textsf {T}}{\big )}}$, de forma que ${\displaystyle \det(AB)=S_{A}(y_{1},\ldots ,y_{m})}$. Note que ${\displaystyle \det(A_{m,I})=S_{A}(e_{I})}$. Vê-se que a aplicação ${\displaystyle S_{A}}$ é multilinear alternada, logo

${\displaystyle S_{A}(y_{1},\ldots ,y_{m})=\sum _{(j_{1},j_{2},\ldots ,j_{m})}b_{1,j_{1}}b_{2,j_{2}}\ldots b_{m,j_{m}}S_{A}(e_{j_{1}},e_{j_{2}},\ldots ,e_{j_{m}})}$.

Se ${\displaystyle m>n}$, haverá repetição em toda lista ${\displaystyle (e_{j_{1}},e_{j_{2}},\ldots ,e_{j_{m}})}$; tendo em vista a alternância de ${\displaystyle S_{A}}$, segue que ${\displaystyle \det(AB)=S_{A}(y_{1},\ldots ,y_{m})=0}$.

Se ${\displaystyle n\geq m}$, a soma se estende sobre o conjunto de todas as ${\displaystyle m}$-tuplas com entradas distintas. Nesse conjunto podemos declarar duas ${\displaystyle m}$-tuplas equivalentes quando uma puder ser obtida a partir da outra por meio de uma permutação das entradas de uma delas. Trata-se de uma relação de equivalência, que particiona portanto esse conjunto. Cada classe de equivalência intersecta ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{n,m}}$ em um, e apenas um, elemento; os outros elementos de uma classe são obtidos a partir deste representante por meio de permutações das entradas, e toda permutação em ${\displaystyle m}$ símbolos ocorre uma única vez, isto é, toda classe de equivalência está em bijeção com ${\displaystyle \operatorname {Sym} (m)\cong \operatorname {Sym} ({\widetilde {I}})}$. Se ${\displaystyle I}$ e ${\displaystyle J}$ estão relacionados por meio de uma permutação ${\displaystyle \sigma }$, então por alternância de ${\displaystyle S_{A}}$, vale ${\displaystyle S_{A}(e_{I})=\operatorname {sgn}(\sigma )S_{A}(e_{J})}$. Essas observações nos levam a

${\displaystyle S_{A}(y_{1},\ldots ,y_{m})=\sum _{I\in {\mathcal {I}}_{n,m}}\sum _{\sigma \in \operatorname {Sym} ({\widetilde {I}})}b_{1,\sigma (i_{1})}b_{2,\sigma (i_{2})}\ldots b_{m,\sigma (i_{m})}S_{A}(e_{\sigma (I)})=\sum _{I\in {\mathcal {I}}_{n,m}}\left(\sum _{\sigma \in \operatorname {Sym} ({\widetilde {I}})}\operatorname {sgn}(\sigma )b_{1,\sigma (i_{1})}\ldots b_{m,\sigma (i_{m})}\right)\!S_{A}(e_{I})}$.

Mas

${\displaystyle \det({B_{I,m}}^{\!\!\!{\textsf {T}}})=\sum _{\sigma \in \operatorname {Sym} ({\widetilde {I}})}\operatorname {sgn}(\sigma )b_{1,\sigma (i_{1})}\ldots b_{m,\sigma (i_{m})}}$,

e como uma matriz quadrada e sua transposta têm o mesmo determinante, fica provada a fórmula. Que o determinante preserva produtos entre matrizes quadradas de mesma dimensão ${\displaystyle m}$ é consequência imediata, pois em tal caso ${\displaystyle {\mathcal {I_{m,m}}}=\{I_{0}=(1,2,\ldots ,m)\}}$, reduzindo a soma a ${\displaystyle \det(A_{m,I_{0}})\det(B_{I_{0},m})=\det(A)\det(B).}$ A fórmula também implica que para qualquer matriz ${\displaystyle C\in \operatorname {Mat} _{m,n}(R)}$, ${\displaystyle n\geq m,}$ com entradas em um anel comutativo com unidade, ${\displaystyle \det(CC^{\textsf {T}})}$ é uma soma de quadrados; de fato, é a soma dos quadrados dos menores de ${\displaystyle C}$ de ordem ${\displaystyle m}$.

• «Cauchy-Binet formula». no PlanetMath 
• «A short combinatoric proof of Cauchy–Binet formula» (PDF) 

(em inglês) Joel G. Broida & S. Gill Williamson. A Comprehensive Introduction to Linear Algebra, §4.6 Cauchy-Binet theorem, pp. 208–14, Addison-Wesley, 1989, ISBN 0-201-50065-5.

(em inglês) Shafarevich, Igor R., Remizov, Alexey O. Linear Algebra and Geometry, §2.9 (p. 68) & §10.5 (p. 377), Springer, 2012, ISBN 978-3-642-30993-9.