Axioma de Pasch
O Axioma de Pasch é um axioma na geometria euclidiana usado implicitamente por Euclides que não poderia ser derivado dos postulados fornecidos por ele. O axioma foi criado por Moritz Pasch em 1882.
Definição
O axioma de Pasch pode ser definido da seguinte forma:[1]
"Dados três pontos , e , não colineares e uma reta no plano determinado por estes três pontos, e que não contém nenhum deles, se passa por um ponto de então também passa por um ponto de ou de ."
Equivalência
Em outros tratados da geometria euclidiana, utilizando diferentes axiomas, o axioma de Pasch pode ser provado como um teorema.[2] Uma das variações deste axioma é denominado de "Postulado da separação do plano".[3]
História
Moritz Pasch publicou este axioma em 1882 e demonstrou que os postulados de Euclides estavam incompletos.[4]
David Hilbert e Robin Hartshorne utilizam o axioma como seu quarto ou quinto — a depender da edição — axioma de ordenamento.[5][1][6] O axioma proposto compõe o sistema de axiomas de Pasch, que foi gradualmente aperfeiçoado por Hilbert, Hartshorne, Giuseppe Peano e Oswald Veblen.[7]
Ver também
- Moritz Pasch
- Teorema das barras cruzadas
Referências
- 1 2 Hilbert, David (1950). The Foundations of Geometry (PDF). Illinois: Open Court Publishing
- ↑ Wylie, Clarence R. (1973). Foundations of Geometry (em inglês). [S.l.]: McGraw-Hill. ISBN 978-0-070-72191-3
- ↑ Faber, Richard L. (1983). Foundations of Euclidean and non-Euclidean geometry. Col: Monographs and textbooks in pure and applied mathematics. New York: Dekker. ISBN 978-0-8247-1748-3
- ↑ Pasch, Moritz (1912). Vorlesungen über neuere Geometrie, von Dr. Moritz Pasch. (em alemão). [S.l.]: Leipzig: B.G. Teubner
- ↑ Melo, Severino Toscano do Rego (2023). «Axiomas de Ordenamento» (PDF). Instituto de Matemática, Estatística e Ciência da Computação da Universidade de São Paulo. Consultado em 23 de fevereiro de 2026
- ↑ Hilbert, David; Hilbert, David (1994). The foundations of geometry 2. Engl. ed., [Nachdr.] ed. La Salle, Ill: Open Court. ISBN 978-0-87548-164-7
- ↑ Abe, Jair Minoro (24 de junho de 1983). «Fundamentos da geometria ordenada». Instituto de Matemática, Estatística e Ciência da Computação da Universidade de São Paulo. doi:10.11606/D.45.1983.tde-20230303-183439. Consultado em 23 de fevereiro de 2026
Bibliografia
- Philip J. Davis and Reuben Hersh. The Mathematical Experience. Birkhäuser Boston, Boston, 1981. Page 160. [QA8.4.D37 1982]