Triângulo isósceles

Triângulo isósceles
Triângulo isósceles
Tipo	Triângulo
Arestas e Vértices	3
Símbolo de Schläfli	( ) ∨ { }
Propriedades	convexo

Em geometria, um triângulo isósceles é um triângulo que possui dois lados de mesma medida, isso é, congruentes.

Euclides define um triângulo isósceles como aquele que possui dois lados congruentes^[1], mas atualmente se define triângulo isósceles como aquele que contém pelo menos dois lados iguais. Na visão moderna, então, faz dos triângulos equiláteros, com três lados iguais, um caso especial de triângulo.^[2] Um triângulo que não é isósceles, ou seja, possui três lados diferentes, é considerado um escaleno.^[3]

Com notação matemática, isso pode ser expresso da seguinte forma:

${\displaystyle \triangle {ABC}\quad {\text{é isósceles}}\quad \Longleftrightarrow \quad {\overline {AB}}\equiv {\overline {AC}}}$^[4]

O termo "isósceles" vem da união dos radicais gregos "isos", igual ou equivalente, e "skelos", pernas. O mesmo termo é utilizado para, por exemplo, trapézios isósceles, denotando trapézios com dois lados iguais.^[5]

O lado que não é igual a nenhum dos outros no triângulo isósceles é a base. No caso de triângulos equiláteros, qualquer lado pode ser chamado de base.^[6] O vértice oposto à base é chamado de ápice.^[7]

Esse triângulo pode ser agudo, reto ou obtuso, a depender do ângulo oposto à base. Na geometria euclidiana, os ângulos da base não podem ser obtusas (maiores do que 90°), nem retas (iguais a 90°), uma vez que a soma de apenas esses dois ângulos já resultaria em 180° ou mais, que seria a soma total dos ângulos internos de um triângulo euclidiano. ^[6] Como o triângulo é obtuso ou reto se, e somente se, um de seus ângulos é obtuso ou reto, respectivamente, o triângulo é agudo, reto ou obtuso se o ângulo oposto à base for agudo, reto ou obtuso, na mesma ordem.^[7]

No livro de Edwin Abbott Abbott Flatland - A Romance of Many Dimensions, essa classificação foi utilizado como sátira da hierarquia social: os triângulos isósceles representaria a classe trabalhadora, com os agudos acima dos triângulos isósceles retos e obtusos.^[8]

Assim como o triângulo isósceles retângulo, diversos outros tipos específicos de isósceles têm sido estudados. À título de exemplo, o triângulo de Eugenio Calabi, que possui três quadrados inscritos congruentes^[9], o triângulo de ouro, o triângulo com dois ângulos de 80° e um de 20º estudado por Edward Mann Langley^[10] e o com dois ângulos de 30º e um de 120 do mosaico triangular triakis.

Há também cinco sólidos de Catalan, tetraedro triakis, octaedro triakis, hexaedro tetrakis, dodecaedro pentakis e icosaedro triakis, que apresentam faces com triângulos isósceles, assim como certas pirâmides e bipirâmides.^[6][11]

A seguir temos uma lista de propriedades dos triângulos isósceles e abaixo suas explicações e demonstrações.^[12]

• Em um triângulo isósceles os ângulos da base são congruentes.
• Em um triângulo isósceles a mediatriz relativa à base, a bissetriz relativa ao ângulo oposto ao da base, a mediana e a altura relativas a base coincidem.

Todo triângulo isósceles é também um triângulo isoângulo, isto é, possui dois ângulos congruentes, que são os dois ângulos opostos aos lados congruentes. Chamamos esses ângulos de ângulos da base.

Porém, essa é uma propriedade que parte da definição de triângulo isósceles, portanto, necessita de demonstração.

Essa propriedade traz uma condição necessária e suficiente para que um triângulo seja isósceles, isso é, ela diz:

Se um triângulo tem dois lados congruentes, então esse triângulo possui os dois ângulos da base congruentes e é um triângulo isósceles.

Se um triângulo tem dois ângulos congruentes, então os dois lados opostos a esses ângulos são congruentes e esse é um triângulo isósceles.

Assim, vamos demonstrar que para um triângulo ser isósceles basta ele possuir dois ângulo congruentes ou dois lados congruentes.

Esse teorema pode ser enunciado de três formas diferentes:

• "Se um triângulo tem dois lados congruentes, então os ângulos opostos a esses lados são congruentes."
• "Se um triângulo é isósceles, os ângulos da base são congruentes."
• "Todo triângulo isósceles é isoângulo."

Com notação matemática, podemos expressá-lo da seguinte forma:

${\displaystyle \triangle {ABC}\quad {\text{é isósceles}}\quad \longleftrightarrow \quad \triangle {ABC}\quad {\text{é isoângulo}}}$

ou

${\displaystyle \triangle {ABC},\quad {{\overline {AB}}\equiv {\overline {AC}}}\qquad \longleftrightarrow \qquad {{\hat {B}}\equiv {\hat {C}}}}$

Para fazer essa demonstração precisamos mostrar primeiro que ser isósceles implica ser isoângulo.

Assim, partiremos de um triângulos isósceles qualquer e buscaremos provar que este triângulo é congruente a si mesmo, porém havendo uma correspondência nos vértices.

Para isso tomaremos duas vezes ${\displaystyle \triangle {ABC}}$, tendo o cuidado de, em cada vez, alternar a ordem dos vértices da base.

Assim, podemos abstrair e pensar em dois triângulos "distintos": ${\displaystyle \triangle {ABC}}$ e ${\displaystyle \triangle {ACB}}$.

Tendo isso em mente, percebe-se que ${\displaystyle \triangle {ABC}\equiv \triangle {ACB}}$, pelo caso de congruência ${\displaystyle LAL}$:

${\displaystyle {\overline {AB}}\equiv {\overline {AC}}\quad {\text{e}}\quad {B{\hat {A}}C}\equiv {C{\hat {A}}B}\quad {\text{e}}\quad {\overline {AC}}\equiv {\overline {AB}}\qquad \Longrightarrow \qquad \triangle {ABC}\equiv \triangle {ACB}}$

Visto que temos, a congruência dos dois triângulos, com isso obtemos que todos seus ângulo correspondentes são congruentes.

Logo: ${\displaystyle {\hat {B}}\equiv {\hat {C}}}$

Agora precisamos mostrar que ser isoângulo implica ser isósceles.

Para isso partiremos de um triângulo ${\displaystyle ABC}$ qualquer que seja isoângulo, isto é, que tenha dois ângulos congruentes.

Para facilitar na demonstração, utilizaremos notação matemática com base em um triângulo ${\displaystyle ABC}$.

${\displaystyle {\hat {B}}\equiv {\hat {C}}\qquad \longrightarrow \qquad {\overline {AB}}\equiv {\overline {AC}}}$

Então traçaremos no triângulo ${\displaystyle ABC}$ a sua bissetriz relativa ao vértice ${\displaystyle A}$. À intersecção da bissetriz com o segmento ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ chamaremos de ponto ${\displaystyle M}$.

Assim teremos dois triângulos: ${\displaystyle \triangle {AMB}}$ e ${\displaystyle \triangle {AMC}}$, ficando fácil de verificar a congruência entre esses dois triângulos, pelo caso de congruência, lado, ângulo e ângulo oposto ao lado.

${\displaystyle {\overline {AM}}\equiv {\overline {AM}}\quad {\text{e}}\quad {B{\hat {A}}M}\equiv {M{\hat {A}}C}\quad {\text{e}}\quad {\hat {B}}\equiv {\hat {C}}\quad \left(LAA_{o}\right)\qquad \longrightarrow \qquad \triangle {AMB}\equiv \triangle {AMC}}$.

Com essa congruência, temos a seguinte congruência: ${\displaystyle {\overline {AB}}\equiv {\overline {AC}}}$.

Assim demonstramos que ser triângulo isósceles implica ser triângulo isoângulo e que ser triângulo isoângulo implica ser triângulo isósceles.

Logo, temos que ser triângulo isósceles é condição necessária e suficiente para ser triângulo isoângulo.

Em um triângulo isósceles a mediatriz relativa à base, a bissetriz relativa ao ângulo oposto ao da base, a mediana e a altura relativas a base coincidem.^[13]

Esta propriedade pode ser expressa com notação matemática da seguinte forma:

${\displaystyle \triangle {ABC},\quad {{\overline {AB}}\equiv {\overline {AC}}}\quad {\text{e}}\quad {\text{M é ponto médio de}}\quad {\overline {BC}}\qquad \longrightarrow \qquad {\overline {AM}}\qquad {\begin{cases}{\text{é bissetriz de }}{\hat {A}}\\{\text{está contido na mediatriz de }}{\overline {BC}}\\{\text{é mediana de }}{\overline {BC}}\\{\text{é altura relativa à }}{\overline {BC}}\end{cases}}}$

Como já vimos acima, temos o triângulo isósceles ${\displaystyle ABC}$, onde ${\displaystyle {\overline {AB}}\equiv {\overline {AC}}}$,${\displaystyle {\hat {B}}\equiv {\hat {C}}}$ e ${\displaystyle M}$ é ponto médio de ${\displaystyle {\overline {BC}}}$.

Assim, pela definição de mediana temos que ${\displaystyle {\overline {AM}}}$ é mediana relativa ao lado ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ e ao vértice ${\displaystyle A}$.

Esse segmento ${\displaystyle {\overline {AM}}}$ divide ${\displaystyle \triangle {ABC}}$ em dois triângulos congruentes: ${\displaystyle \triangle {AMC}}$ e ${\displaystyle \triangle {AMB}}$.

${\displaystyle {\overline {AB}}\equiv {\overline {AC}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {BM}}\equiv {\overline {MC}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {AM}}\equiv {\overline {AM}}\quad \left(LLL\right)\qquad \Longrightarrow \qquad \triangle {AMB}\equiv \triangle {AMC}}$.

Essa congruência dos triângulos implica a congruência ${\displaystyle B{\hat {A}}M\equiv {M{\hat {A}}C}}$. Assim, temos que ${\displaystyle {\overline {AM}}}$ é também bissetriz de ${\displaystyle B{\hat {A}}C}$.

A partir disso temos também a congruência ${\displaystyle B{\hat {M}}A\equiv {C{\hat {M}}A}}$. Porém, temos também que esses ângulos são suplementares.

Assim temos: ${\displaystyle med\left(B{\hat {M}}A\right)+med\left(C{\hat {M}}A\right)=180^{\circ }=2.med\left(B{\hat {M}}A\right)\qquad \Longrightarrow \qquad {med\left(B{\hat {M}}A\right)=90^{\circ }}}$.

Como os ângulos ${\displaystyle B{\hat {M}}A}$ e ${\displaystyle A{\hat {M}}C}$ são ângulos retos, temos que ${\displaystyle {\overline {AM}}}$ é perpendicular à ${\displaystyle {\overline {BC}}}$. Isso nos garante que ${\displaystyle {\overline {AM}}}$ é a altura relativa à base ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ e é mediatriz, por ${\displaystyle M}$ ser ponto médio.

Assim temos que ${\displaystyle {\overline {AM}}}$ é bissetriz, mediatriz, mediana e altura relativa à base.

Como implicação da propriedade anterior, temos que em um triângulo isósceles o baricentro, o incentro, o circuncentro e o ortocentro são colineares. Assim, temos que isso é uma condição necessária e suficiente para que um triângulo seja isósceles.

${\displaystyle \triangle {ABC}\quad {\text{é isósceles}},\quad \longleftrightarrow \quad {\text{o baricentro, o incentro, o circuncentro e o ortocentro são colineares}}}$^[14]

${\displaystyle \triangle {ABC}\quad {\text{é isósceles}}\quad \longrightarrow \quad {\text{o baricentro, o incentro, o circuncentro e o ortocentro são colineares}}}$

Primeiramente vamos provar que, se um triângulo é isósceles, então o baricentro, o incentro, o circuncentro e o ortocentro são colineares. Para demonstrar esse teorema partiremos do que foi demonstrado acima.

Assim temos que, se tomarmos a mediana de um triângulo isósceles, temos que essa mediana é também bissetriz, altura relativa e está contida na mediatriz do triângulo.

Isso implica qualquer ponto que pertence à mediana pertence também à bissetriz, à altura relativa e à mediatriz.

Após demonstrar isso precisamos demonstrar a recíproca.

Assim, precisamos demonstrar que:

${\displaystyle \triangle {ABC},{\text{baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro são colineares}}\qquad \longrightarrow \qquad {\triangle {ABC}\quad {\text{é isósceles}}}}$

Como temos que os quatro pontos notáveis são colineares, daremos nomes a esses pontos como forma de simplificar a notação.

Desse modo temos que ${\displaystyle G{\text{ é baricentro}}}$, ${\displaystyle I{\text{ é incentro}}}$, ${\displaystyle D{\text{ é o circuncentro}}}$ e ${\displaystyle O{\text{ é o ortocentro}}}$.

Para fazer essa demonstração tomaremos uma reta ${\displaystyle r}$ que contém todos esses pontos, ou seja:

${\displaystyle \exists {r}/G,I,D,O\in {r}}$

Com relação a essa reta podemos analisar duas situações em relação ao vértice ${\displaystyle A}$ (sem perda de generalidade):

Ou ${\displaystyle A\in {r}}$ ou ${\displaystyle A\notin {r}}$.

Analisaremos essas duas situações separadamente

Primeiramente, tomaremos um ponto ${\displaystyle M}$, tal que esse ponto seja a intersecção de ${\displaystyle r}$ com ${\displaystyle {\overline {BC}}}$. Assim teremos:

${\displaystyle M/{r\cap {\overline {BC}}=M}\qquad \Longrightarrow \qquad {\overleftrightarrow {AM}}=r\qquad \Longrightarrow \qquad {G,I,D,O}\in {\overleftrightarrow {AM}}\Longrightarrow {\begin{cases}{\overline {AM}}{\text{ é bissetriz de }}{\hat {A}}\\{\overline {AM}}{\text{ é mediana de }}{\overline {BC}}\\{\overleftrightarrow {AM}}{\text{define altura relatica à }}{\overline {BC}}\\{\overleftrightarrow {AM}}{\text{ é mediatriz de }}{\overline {BC}}\end{cases}}}$

A partir dessas relações, podemos chegar a nossa conclusão de várias maneiras.

Sabendo que ${\displaystyle {\overleftrightarrow {AM}}}$ é mediatriz de ${\displaystyle {\overline {BC}}}$, temos:

${\displaystyle {\overleftrightarrow {AM}}{\text{ é mediatriz de }}{\overline {BC}}\qquad \Longrightarrow \qquad {{\overline {BM}}\equiv {\overline {MC}}}\quad {\text{e}}\quad {B{\hat {M}}}A\equiv {A{\hat {M}}C}}$.

Dessas relações, temos a congruência entre os triângulos ${\displaystyle \triangle {ABM}}$ e ${\displaystyle \triangle {ACM}}$:

${\displaystyle {{\overline {BM}}\equiv {\overline {MC}}}\quad {\text{e}}\quad {B{\hat {M}}}A\equiv {A{\hat {M}}C}\quad {\text{e}}\quad {\overline {AM}}\equiv {\overline {AM}}\quad \left(LAL\right)\qquad \Longrightarrow \qquad {\triangle {ABM}\equiv \triangle {ACM}}}$

A partir da congruência dos triângulos temos a congruência de dois lados de ${\displaystyle \triangle {ABC}}$, provando que ele é isósceles.

${\displaystyle \triangle {ABM}\equiv \triangle {ACM}\qquad \Longrightarrow \qquad {{\overline {AB}}\equiv {\overline {AC}}}\qquad \Longrightarrow {\triangle {ABC}{\text{ é isósceles}}}}$.

Primeiramente tomaremos duas retas, a reta ${\displaystyle {\overleftrightarrow {AG}}}$ (reta que passa pelo vértice ${\displaystyle A}$ e pelo baricentro) e a reta ${\displaystyle {\overleftrightarrow {AD}}}$ (reta que passa pelo vértice ${\displaystyle A}$ e pelo circuncentro).

Então tomaremos dois pontos, que serão a intersecção dessas retas com o segmento ${\displaystyle {\overline {BC}}}$.

Com esses dois pontos teremos as seguintes implicações:

${\displaystyle H/{\quad {\overleftrightarrow {AG}}\cap {\overline {BC}}=H}\qquad \Longrightarrow \qquad {{\overline {AG}}{\text{ é mediana relativa ao lado }}{\overline {BC}}}\qquad \Longrightarrow \qquad {H{\text{ é ponto médio de }}{\overline {BC}}}\qquad ({\text{I}})}$

e

${\displaystyle J/{\quad {\overleftrightarrow {AD}}\cap {\overline {BC}}=J}\qquad \Longrightarrow \qquad {{\overleftrightarrow {AJ}}{\text{ é mediatriz de }}{\overline {BC}}}\qquad \Longrightarrow \qquad {J{\text{ é ponto médio de }}{\overline {BC}}}\qquad ({\text{II}})}$

De ${\displaystyle \left({\text{I}}\right)}$ e ${\displaystyle \left({\text{II}}\right)}$, e pela propriedade de unicidade do ponto médio temos:

${\displaystyle J=H\qquad \Longrightarrow \qquad {\overline {AH}}={\overline {AJ}}\qquad \Longrightarrow \qquad {\overleftrightarrow {AG}}={\overleftrightarrow {AD}}={\overleftrightarrow {GD}}=r\qquad \Longrightarrow \qquad {A\in {r}}}$

Assim chegamos a uma contradição, pois, nesse segundo caso tinhamos por hipótese que ${\displaystyle A\notin {r}}$. Com isso temos que apenas a primeira possibilidade é possível.

Logo, em todo triângulo isósceles, o baricentro, o incentro, o circuncentro e o ortocentro são colineares.

Referências

• Barnes, John (2012), Gems of Geometry, ISBN 9783642309649 2nd, illustrated ed. , Springer, p. 27 
• Conway, J.H.; Guy, R.K. (1996), «Calabi's Triangle», The Book of Numbers, New York: Springer-Verlag, p. 206 
• Gottschau, Marinus; Haverkort, Herman; Matzke, Kilian (2018), «Reptilings and space-filling curves for acute triangles», Discrete & Computational Geometry, 60 (1): 170–199, arXiv:1603.01382, doi:10.1007/s00454-017-9953-0 
• Heath, Thomas L. (1926), The Thirteen Books of Euclid's Elements, 1 2nd ed. , Cambridge University Press ; Dover reprint, 1956
• Langley, E. M. (1922), «Problem 644», The Mathematical Gazette, 11: 173 
• Lardner, Dionysius (1840), A Treatise on Geometry and Its Application in the Arts, The Cabinet Cyclopædia, London 
• Lardner, Dionysius (1840), A Treatise on Geometry and Its Application in the Arts, The Cabinet Cyclopædia, London 
• Montroll, John (2009), Origami Polyhedra Design, ISBN 9781439871065, A K Peters, p. 6 
• Stahl, Saul (2003), Geometry from Euclid to Knots, ISBN 0-13-032927-4, Prentice-Hall 
• Usiskin, Zalman; Griffin, Jennifer (2008), The Classification of Quadrilaterals: A Study in Definition, ISBN 9781607526001, Research in Mathematics Education, Information Age Publishing