Transformação de séries de Kummer

Em matemática, especificamente na área da análise numérica, a transformação de séries de Kummer é um método usado para acelerar a convergência de uma série infinita. O método foi inicialmente sugerido por Ernst Kummer em 1837.

Seja

${\displaystyle A=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

uma soma infinita cujo valor deseja-se determinar, e

${\displaystyle B=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$

uma soma infinita com termos comparáveis cujo valor é conhecido. Se

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\gamma \neq 0}$

então A é mais facilmente determinado como

${\displaystyle A=\gamma B+\sum _{n=1}^{\infty }\left(1-\gamma {\frac {b_{n}}{a_{n}}}\right)a_{n}=\gamma B+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}-\gamma b_{n}.}$

O método é aplicado para acelerar a fórmula de Leibniz para π:

${\displaystyle 1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,{\frac {1}{7}}\,+\,{\frac {1}{9}}\,-\,\cdots \,=\,{\frac {\pi }{4}}.}$

Primeiro são agrupados termos em pares como

${\displaystyle 1-\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}\right)-\left({\frac {1}{7}}-{\frac {1}{9}}\right)+\cdots }$

${\displaystyle \,=1-2\left({\frac {1}{15}}+{\frac {1}{63}}+\cdots \right)=1-2A}$

onde

${\displaystyle A=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{16n^{2}-1}}.}$

Com

${\displaystyle B=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4n^{2}-1}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{15}}+\cdots }$

${\displaystyle \,={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{10}}+\cdots }$

que é uma soma telescópica com resultado 1⁄2. Neste caso

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }{\frac {\frac {1}{16n^{2}-1}}{\frac {1}{4n^{2}-1}}}={\frac {4n^{2}-1}{16n^{2}-1}}={\frac {1}{4}}}$

e a transformação de Kummer fornece

${\displaystyle A={\frac {1}{4}}\cdot {\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{4}}{\frac {\frac {1}{4n^{2}-1}}{\frac {1}{16n^{2}-1}}}\right){\frac {1}{16n^{2}-1}}.}$

Esta é simplificada como

${\displaystyle A={\frac {1}{8}}-{\frac {3}{4}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(16n^{2}-1)(4n^{2}-1)}}}$

que converge muito mais rapidamente que a série original.

• Senatov, V.V. (2001), «Kummer transformation», in: Hazewinkel, Michiel, Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer 
• Knopp, Konrad (2013). Theory and Application of Infinite Series. [S.l.]: Courier Corporation. p. 247 
• Keith Conrad. «Accelerating Convergence of Series» (PDF) 
• Kummer, E. (1837). «Eine neue Methode, die numerischen Summen langsam convergirender Reihen zu berech-nen». J. Reine Angew. Math. (16): 206–214 

• Weisstein, Eric W. «Kummer's Series Transformation». MathWorld (em inglês)