Teorema de Poincaré–Hopf

O Teorema de Poincaré–Hopf (também conhecido como formula do índice de Poincaré–Hopf ou teorema do índice de Poincaré–Hopf) é um importante teorema da área de topologia diferencial. É nomeado em homenagem aos matemáticos Henri Poincaré e Heinz Hopf.

O Teorema de Poincaré-Hopf pode ser ilustrado pelo pelo seu corolário, o teorema da bola cabeluda, que afirma que não há um campo vetorial suave sem zeros em uma n-esfera de dimensão par, isto é, não se pode pentear uma bola cabeluda sem criar redemoinhos.

Teorema. Seja ${\displaystyle M}$ uma variedade diferencial compacta e ${\displaystyle v}$ um campo vetorial em ${\displaystyle M}$ com zeros isolados. Caso ${\displaystyle M}$ possua bordo, também pedimos que ${\displaystyle v}$ aponte na direção normal exterior a longo do bordo. Então, cumprida tais hipóteses, temos a fórmula

${\displaystyle \sum _{i}\operatorname {ind} _{x_{i}}(v)=\chi (M)\,}$

O Teorema foi provado para duas dimensões por Henri Poincaré e mais tarde foi generalizado por Heinz Hopf para dimensões quaisquer.

A característica de Euler de uma superfície fechada é um conceito definido topologicamente, enquanto o índice de um campo vetorial é um conceito analítico. Logo, esse teorema estabelece uma profunda conexão entre essa duas áreas da matemática. Outro ponto curioso que cria esse link é que a demonstração faz forte uso do Teorema de Stokes, que generaliza o Teorema Fundamental do Cálculo, estabelecendo uma relação entre integração numa variedade e a integração em seu bordo.

É possível definir o índice para campos vetoriais sem zeros isolados. Uma construção de tal índice que permitiu uma extensão do Teorema de Poincaré-Hopf está explicada na seção 1.1.2 de (Brasselet, Seade & Suwa 2009).

Outra possível generalização considerada é o Teorema de Lefschetz-Hopf que utilizando ferramentas da topologia algébrica enfraquece as hipóteses já que o espaço deve ser apenas triangularizável e compacto e o mapa deve ser contínuo e possuir finitos pontos fixos. Desse modo o Teorema afirma que

${\displaystyle \sum _{x\in Fix(f)}\operatorname {ind} (f,x)=\Lambda _{f}\,}$

Onde o número de Lefschetz ${\displaystyle \Lambda _{f}\,}$generaliza a característica de Euler, com ${\displaystyle \chi (M)=\Lambda _{Id}}$.

Observamos que tal Teorema de fato é uma generalização pois um campo vetorial induz um fluxo na variedade e os pontos fixos desses fluxo correspondem aos zeros do campo considerado (e temos nesse caso que o índice dos zeros ${\displaystyle \operatorname {ind} _{x}(v)}$ é igual ao índice dos pontos fixos ${\displaystyle \operatorname {ind} (f,x)}$). Logo como tal fluxo é homotópico à identidade, temos ${\displaystyle \Lambda _{f}=\Lambda _{Id}=\chi (M)}$, de modo que o Teorema de Poincaré-Hopf segue imediatamente.

• Teorema de Hopf

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Poincaré–Hopf theorem», Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer 
• Brasselet, Jean-Paul; Seade, José; Suwa, Tatsuo (2009). Vector fields on singular varieties [Campos vetoriais em varidades singulares] (em inglês). Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-642-05205-7