Teorema de König

Em análise complexa e análise numérica, o Teorema de König^[1] fornece uma forma para estimar polos simples ou raízes simples de uma função. Em particular, possui inúmeras aplicações em algoritmos para encontrar raízes, como o método de Newton e sua generalização, o método de Householder.

Dada uma função meromorfa definida em ${\displaystyle |x|<R}$:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n},\qquad c_{0}\neq 0.}$

Suponha que esta possui polo simples apenas se ${\displaystyle x=r}$ no disco. Se ${\displaystyle 0<\sigma <1}$ tal que ${\displaystyle |r|<\sigma R}$, então

${\displaystyle {\frac {c_{n}}{c_{n+1}}}=r+o(\sigma ^{n+1}).}$

Em particular, temos que

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {c_{n}}{c_{n+1}}}=r.}$

Nas proximidades de x=r, espera-se que a função seja dominada pelo polo:

${\displaystyle f(x)\approx {\frac {C}{x-r}}=-{\frac {C}{r}}\,{\frac {1}{1-x/r}}=-{\frac {C}{r}}\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {x}{r}}\right]^{n}.}$

Correlacionando os coeficientes, vê-se que ${\displaystyle {\frac {c_{n}}{c_{n+1}}}\approx r}$.

Referências