Teorema de Apolônio

Em geometria, o teorema de Apolônio é um teorema que relaciona o comprimento de uma mediana de um triângulo aos comprimentos de seus lados. Ele afirma que a soma dos quadrados de dois lados quaisquer de qualquer triângulo é igual ao dobro do quadrado da metade do terceiro lado, somado ao dobro do quadrado da mediana que bissecta o terceiro lado.

O teorema é encontrado como proposição VII.122 da Coleção de Pappus de Alexandria (c. 340 d.C.). Pode ter estado no tratado perdido de Apolônio de Perga chamado Lugares Planos (aprox. 200 a.C.), e foi incluído na reconstrução de 1749 desse trabalho por Robert Simson.^[1]

Em qualquer triângulo ${\displaystyle ABC,}$ se ${\displaystyle AD}$ é uma mediana (${\displaystyle |BD|=|CD|}$), então $${\displaystyle |AB|^{2}+|AC|^{2}=2(|BD|^{2}+|AD|^{2}).}$$ É um caso especial do teorema de Stewart. Para um triângulo isósceles com ${\displaystyle |AB|=|AC|,}$ a mediana ${\displaystyle AD}$ é perpendicular a ${\displaystyle BC}$ e o teorema se reduz ao teorema de Pitágoras para o triângulo ${\displaystyle ADB}$ (ou triângulo ${\displaystyle ADC}$). Do fato de que as diagonais de um paralelogramo se bissectam mutuamente, o teorema é equivalente à lei do paralelogramo.

O teorema pode ser demonstrado como um caso especial do teorema de Stewart, ou pode ser demonstrado usando vetores (veja lei do paralelogramo). A seguir está uma demonstração independente usando a lei dos cossenos.^[2]

Seja um triângulo com lados ${\displaystyle a,b,c}$ com uma mediana ${\displaystyle d}$ traçada para o lado ${\displaystyle a.}$ Seja ${\displaystyle m}$ o comprimento dos segmentos de ${\displaystyle a}$ formados pela mediana, então ${\displaystyle m}$ é metade de ${\displaystyle a.}$ Sejam os ângulos formados entre ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle d}$ como ${\displaystyle \theta }$ e ${\displaystyle \theta ^{\prime },}$ onde ${\displaystyle \theta }$ inclui ${\displaystyle b}$ e ${\displaystyle \theta ^{\prime }}$ inclui ${\displaystyle c.}$ Então ${\displaystyle \theta ^{\prime }}$ é o suplemento de ${\displaystyle \theta }$ e ${\displaystyle \cos \theta ^{\prime }=-\cos \theta .}$ A lei dos cossenos para ${\displaystyle \theta }$ e ${\displaystyle \theta ^{\prime }}$ afirma que $${\displaystyle {\begin{aligned}b^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta \\c^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta '\\&=m^{2}+d^{2}+2dm\cos \theta .\,\end{aligned}}}$$

Somando a primeira e a terceira equações, obtemos $${\displaystyle b^{2}+c^{2}=2(m^{2}+d^{2})}$$ como queríamos demonstrar.

• Fórmulas envolvendo os comprimentos das medianas — median of a triangle

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