Tabela de Cayley

Em álgebra abstrata, uma Tabela de Cayley (ou Tábua de Cayley) descreve a estrutura de um grupo finito, organizando os produtos possíveis de todos os elementos do grupo em uma tabela quadrada que lembra uma tabela de multiplicação (tabuada). Batizada em homenagem ao matemático britânico Arthur Cayley, algumas propriedades de um grupo – tais como se é abeliano ou não, quais elementos são inversos de quais – podem ser deduzidas a partir de sua Tabela de Cayley.^[1]

Um exemplo de uma Tabela de Cayley é a do grupo {1, − 1} sob a operação de multiplicação usual:

As Tabelas de Cayley foram apresentadas no artigo de Cayley de 1854, "Sobre a Teoria dos Grupos", como dependentes da equação simbólica θⁿ = 1" ^[2]. Nesse artigo, elas foram referidas simplesmente como tabelas e eram meramente ilustrativas. – Mais tarde, elas ficaram conhecidas como Tabelas de Cayley, em homenagem ao seu criador.

Como muitas Tabelas de Cayley descrevem grupos que não são abelianos, o produto ab em relação à operação binária do grupo não é necessariamente igual ao produto ba para todos os valores de a e b no grupo. Para evitar confusão, a convenção é que o fator que rotula a linha vem primeiro, e o fator que rotula a coluna vem em segundo lugar. Por exemplo, a interseção da linha a e da coluna b é ab e não ba, como no exemplo a seguir:

Através de uma Tabela de Cayley é possível dizer se um grupo é abeliano. Como a operação de grupo de um grupo abeliano é comutativa, um grupo é abeliano se, e somente se, os valores de sua Tabela de Cayley forem simétricos em relação ao seu eixo diagonal. O grupo {1, − 1} com a operação de multiplicação usual acima e o grupo cíclico de ordem 3 são ambos exemplos de grupos abelianos, e a inspeção da simetria de suas tabelas de Cayley verifica isso. Em contraste, o menor grupo não abeliano, o grupo diedral de ordem 6, não possui uma Tabela de Cayley simétrica.^[3]

Como a associatividade é tomada como um axioma ao lidar com grupos, ela é frequentemente assumida como certa ao se trabalhar com Tabelas de Cayley. No entanto, as Tabelas de Cayley também podem ser usadas para caracterizar a operação de um quasegrupo, que não pressupõe a associatividade como um axioma (de fato, as Tabelas de Cayley podem ser usadas para caracterizar a operação de qualquer grupoide finito). Infelizmente, não é possível determinar se uma operação é associativa ou não simplesmente consultando sua Tabela de Cayley, como ocorre com a comutatividade. Isso se deve ao fato de a associatividade depender de uma equação de três termos. ${\displaystyle (ab)c=a(bc)}$, enquanto a Tabela de Cayley mostra produtos de dois a dois termos.^[4]

As propriedades acima dependem de alguns axiomas válidos para grupos. É natural considerar Tabelas de Cayley para outras estruturas algébricas, como semigrupos ou grupóides, mas algumas das propriedades podem não se aplicar.

• Quadrado latino
• Semigrupos
• Grupóides