Série dos inversos dos primos

Em matemática, a série dos inversos dos primos é a série numérica cujos termos são os inversos dos números primos:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{p_{i}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\ldots \,}$

O matemático suíço Leonhard Euler demonstrou, no século XVIII que esta série é divergente.

Uma versão moderna da prova original de Euler pode ser feita como a seguir:

Defina o conjunto ${\displaystyle E_{k}\,}$ cujos elementos são todos os números naturais positivos divisíveis apenas pelos k primeiros números primos. Defina também ${\displaystyle S_{k}\,}$ como a soma dos inversos dos elementos de ${\displaystyle E_{k}\,}$, assim:

${\displaystyle S_{0}=1\,}$

${\displaystyle S_{1}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+\ldots \,}$

${\displaystyle S_{2}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{2.3}}+{\frac {1}{3^{2}}}\ldots \,}$

É possível mostrar por indução que:

${\displaystyle S_{k}=\left(1+{\frac {1}{p_{k}}}+{\frac {1}{p_{k}^{2}}}+{\frac {1}{p_{k}^{3}}}+\ldots \right)S_{k-1},~~k\geq 2\,}$

Usando a série geométrica, temos:

${\displaystyle S_{k}={\frac {1}{1-p_{k}^{-1}}}S_{k-1},~~k\geq 2\,}$

E, portanto:

${\displaystyle S_{k}=\left({\frac {1}{1-p_{k}^{-1}}}\right)\left({\frac {1}{1-p_{k-1}^{-1}}}\right)\cdots \left({\frac {1}{1-p_{1}^{-1}}}\right)=\prod _{i=1}^{k}{\frac {1}{1-p_{i}^{-1}}}\,}$

tomando logaritmos, temos:

${\displaystyle \ln S_{k}=-\sum _{i=1}^{k}\ln \left(1-p_{i}^{-1}\right)\,}$

Usamos a série de Taylor para o logarítmo:

${\displaystyle -\ln(1-p_{i}^{-1})={\frac {1}{p_{i}}}+{\frac {1}{2p_{i}^{2}}}+{\frac {1}{3p_{i}^{3}}}+\ldots \,}$

assim:

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\ln S_{k}&=&\sum _{i=1}^{k}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{np_{i}^{n}}}\\&=&\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{p_{i}}}+\sum _{i=2}^{k}{\frac {1}{p_{i}^{2}}}\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{np_{i}^{n-2}}}\\&\leq &\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{p_{i}}}+\sum _{i=2}^{k}{\frac {1}{p_{i}^{2}}}\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{p_{i}^{n-2}}}\\&=&\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{p_{i}}}+\sum _{i=2}^{k}{\frac {1}{p_{i}^{2}-p_{i}}}\\\end{array}}}$

Observamos que:

${\displaystyle \sum _{i=2}^{k}{\frac {1}{p_{i}^{2}-p_{i}}}\leq \sum _{i=2}^{\infty }{\frac {1}{i^{2}-i}}=\sum _{i=2}^{\infty }\left({\frac {1}{i-1}}-{\frac {1}{i}}\right)=1}$

e também que:

${\displaystyle S_{k}\geq \sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{k}}\geq \ln k}$

E finalmente:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{p_{i}}}\geq \ln \left(\ln k-1\right)}$

E o resultado segue dado que ${\displaystyle \ln \ln k\to \infty \,}$ quando ${\displaystyle k\to \infty \,}$

Esta prova é atribuída ao matemático húngaro Paul Erdős.

Suponha por absurdo que a série seja convergente. Então existe um número natural ${\displaystyle k\,}$ tal que:

${\displaystyle \sum _{i=k+1}^{\infty }{\frac {1}{p_{i}}}<{\frac {1}{2}}\,}$

Defina o conjunto ${\displaystyle S(x)\,}$ formado pelos números naturais inferiores ou iguais a x que são divisíveis apenas pelos primos ${\displaystyle 2,3,5,\ldots ,p_{k}\,}$:

${\displaystyle S(x)=\left\{n\in \mathbb {N} :n\leq x\land p_{i}\nmid n,~~\forall i>k\right\}}$

E defina a função ${\displaystyle N(x)\,}$ como o número de elementos em ${\displaystyle S(x)\,}$.

A prova consiste em estabelecer valores máximos e mínimos para N(x) e observar uma contradição para valores altos de x.

Proposição 1: ${\displaystyle N(x)\leq 2^{k}{\sqrt {x}}\,}$

Todo número inteiro pode ser escrito na forma ${\displaystyle p=qm^{2}\,}$, onde q é um Inteiro sem fator quadrático. Os elementos ${\displaystyle p\in S(x)\,}$ só podem ter, como fatores primos, os primos ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots p_{k}\,}$, portanto o número q é da seguinte forma:

${\displaystyle q={p_{1}}^{e_{1}}{p_{2}}^{e_{2}}\ldots {p_{k}}^{e_{k}}\,}$

onde os expoentes ${\displaystyle e_{i}\,}$ valem 0 ou 1. Existem, portanto, no máximo, ${\displaystyle 2^{k}\,}$ possibilidades para o valor do número q. Como m² ≤ x, temos que existem no máximo ${\displaystyle {\sqrt {x}}\,}$ possibilidades para m. Assim, por análise combinatória, temos uma quota superior para N(x).

Proposição 2: ${\displaystyle N(x)>{\frac {x}{2}}\,}$

O complemento do conjunto S(x) no conjunto {1, 2, ..., x} tem x - N(x) elementos. Cada elemento deste conjunto deve ser divisível por algum primo p_i, com i > k.

Mas a quantidade de números inteiros nesta faixa que é divisivel por um primo ${\displaystyle p_{i}\,}$ é inferior a ${\displaystyle {\frac {x}{p_{i}}}\,}$.

Portanto, temos a a estimativa:

${\displaystyle x-N(x)\leq \sum _{i=k+1}^{\infty }{\frac {x}{p_{i}}}=x\sum _{i=k+1}^{\infty }{\frac {1}{p_{i}}}<{\frac {x}{2}}\,}$

ou, simplificando:

${\displaystyle N(x)>{\frac {x}{2}}\,}$

E vemos que, para x grande, as duas proposições se contradizem, o que completa a demonstração.

Viggo Brun, em 1919, demonstrou que a série dos recíprocos dos primos gêmeos converge. Esta série gera o número denominado de constante de Brun.

${\displaystyle B_{2}=\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}\right)+\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\left({\frac {1}{29}}+{\frac {1}{31}}\right)+\cdots \approx 1,9021605823.}$

Observe cuidadosamente que ainda é um problema em aberto a existência de infinitos primos gêmeos. O teorema de Brun afirma que mesmo que existam infinitos termos nesta soma, a série resultante é ainda assim convergente.