Série de Bell

Em matemática, uma série de Bell é uma série de potências usada para estudar as propriedades de funções aritméticas. As séries de Bell foram introduzidas e desenvolvidas por Eric Temple Bell.^[1]

Dada uma função aritmética ${\displaystyle f}$ e um número primo ${\displaystyle p}$, define-se a série de potências formalmente ${\displaystyle f_{p}(x)}$, chamada agora de série de Bell de ${\displaystyle f}$ módulo ${\displaystyle p}$ como:

${\displaystyle f_{p}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f(p^{n})x^{n}.}$

Pode-se demostrar que duas funções multiplicativas são idênticas se todas as suas séries de Bell são iguais; isto às vezes chama-se teorema de unicidade. Dadas as funções mutiplicativas ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$, tem-se que ${\displaystyle f=g}$ se e somente se:

${\displaystyle f_{p}(x)=g_{p}(x)}$ para todos os primos ${\displaystyle p}$.

Duas séries podem ser multiplicadas (às vezes chama-se de teorema de multiplicação): Para duas funções aritméticas quaisquer ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$, seja ${\displaystyle h=f*g}$ sua convolução de Dirichlet. Então, para cada primo ${\displaystyle p}$, tem se que:

${\displaystyle h_{p}(x)=f_{p}(x)g_{p}(x).\,}$

Em particular, isto converte em algo trivial encontrar a serie de Bell de uma inversa de Dirichlet.

Se ${\displaystyle f}$ é uma função completamente multiplicativa, então:

${\displaystyle f_{p}(x)={\frac {1}{1-f(p)x}}.}$

A continuação mostra as séries de Bell de funções aritméticas mais conhecidas.

• A função de Möbius ${\displaystyle \mu }$ tem ${\displaystyle \mu _{p}(x)=1-x.}$
• A função φ de Euler ${\displaystyle \varphi }$ tem ${\displaystyle \varphi _{p}(x)={\frac {1-x}{1-px}}.}$
• A identidade multiplicativa da convolução de Dirichlet ${\displaystyle \delta }$ tem ${\displaystyle \delta _{p}(x)=1.}$
• A função de Liouville ${\displaystyle \lambda }$ tem ${\displaystyle \lambda _{p}(x)={\frac {1}{1+x}}.}$
• A função potência Id_k tem ${\displaystyle ({\textrm {Id}}_{k})_{p}(x)={\frac {1}{1-p^{k}x}}.}$ Aqui, Id_k é a função completamente multiplicativa ${\displaystyle \operatorname {Id} _{k}(n)=n^{k}}$.
• A função divisor ${\displaystyle \sigma _{k}}$ tem ${\displaystyle (\sigma _{k})_{p}(x)={\frac {1}{1-(1+p^{k})x+p^{k}x^{2}}}.}$