Rearranjo simétrico decrescente

Em matemática, o rearranjo simétrico decrescente de uma função real definida em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ é uma função radialmente simétrica e decrescente, cujos conjuntos de nível têm a mesma medida dos respectivos conjuntos de nível da função original.

Dado um conjunto mensurável A, o rearranjo simétrico de A, denotado A^*, é a bola centrada na origem cuja medida é igual à medida de A: ^[1][2]

${\displaystyle A^{*}=\{x:|x|<r\},}$

onde o r é dado por

${\displaystyle \omega _{n}r^{n}=\mu (A)}$

aqui ${\displaystyle \omega _{n}}$ é a medida da bola unitária.

O rearranjo simétrico decrescente de um a função não-negativa, mensurável ${\displaystyle f}$ é definido como ^[1][2]

${\displaystyle f^{*}(x)=\int _{0}^{\infty }\mathbb {I} _{\{y:f(y)>t\}^{*}}(x)dt.}$

Esta definição é motivada pela seguinte identidade, conhecida como representação bolo de camadas:

${\displaystyle f(x)=\int _{0}^{\infty }\mathbb {I} _{\{y:f(y)>t\}}(x)dt,}$

vávlida para funções não-negativas.

A função ${\displaystyle f^{*}}$ é radialmente simétrica e decrescente e seus superconjuntos de nível possuem a mesma medida dos superconjuntos de nível de f: ^[1][2]

${\displaystyle |\{x:f^{*}(x)>t\}|=|\{x:f(x)>t\}|.}$

Se ${\displaystyle f}$ é uma função em ${\displaystyle L^{p}}$, então

${\displaystyle \|f\|_{L^{p}}=\|f^{*}\|_{L^{p}}.}$

A desigualdade de Hardy-Littlewood estabelece que ^[1][2]

${\displaystyle \int fg\leq \int f^{*}g^{*}.}$

A desigualdade de Szego estabelece que se ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ e se ${\displaystyle f\in W^{1,p}}$, então ^[2]

${\displaystyle \|\nabla f^{*}\|_{p}\leq \|\nabla f\|_{p}.}$

O rearranjo simétrico decrescente preserva ordem: ^[2]

${\displaystyle f\leq g\Rightarrow f^{*}\leq g^{*}}$

e reduz a distância em ${\displaystyle L^{p}}$: ^[2]

${\displaystyle \|f-g\|_{L^{p}}\geq \|f^{*}-g^{*}\|_{L^{p}}.}$

Referências