Propriedades de raízes de polinômios

Na matemática, cotas para raízes de polinômios são estimativas para a grandeza do módulos das raízes de uma função polinomial, isto é, uma função do tipo:

${\displaystyle P(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n},\quad x\in \mathbb {C} }$

onde os coeficientes ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$ são números complexos e ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$. Tais cotas localizam as raízes da função polinomial em uma região limitada do plano complexo, normalmente um círculo.^[1][2]

Ver artigo principal: teorema fundamental da álgebra

O teorema fundamental da álgebra diz que "um polinômio de grau n tem n raízes se forem considerados as raízes reais e imaginárias com seu grau de multiplicidade."^[1] A partir desse teorema podemos escrever um polinômio de grau ${\displaystyle n}$ com raízes ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{r}}$ de uma maneira diferente:

${\displaystyle p_{n}(x)=a_{n}(x-\alpha _{1})^{m1}(x-\alpha _{2})^{m2}...(x-\alpha _{r})^{mr}}$

Onde: ${\displaystyle m1+m2+...+mr=n}$ e o ${\displaystyle a_{n}}$ é o coeficiente de ${\displaystyle x^{n}}$ e ${\displaystyle mk}$ é o grau de multiplicidade da raiz ${\displaystyle \alpha _{k}.}$

O teorema de Laguerre diz que dado um polinômio ${\displaystyle P(x)}$ com coeficientes reais e dado um número, obtemos ${\displaystyle P(x)=(x-a)q(x)+R}$. Se os coeficientes de ${\displaystyle q(x)}$ e ${\displaystyle R}$ forem todos positivos ou nulos, então teremos que todas as raízes reais positivas ${\displaystyle xj}$ verificam ${\displaystyle xj<a}$.

Dado ${\displaystyle P(x)=0}$ com coecientes reais, fazendo a deflação de ${\displaystyle P(x)}$ por ${\displaystyle x-1}$, ${\displaystyle x-2}$,

${\displaystyle x-3}$..., até ${\displaystyle x-m}$, onde ${\displaystyle q(x)}$ tenha todos os seus coeficientes positivos ou nulos, assim como ${\displaystyle R(x)>0}$ tal ${\displaystyle m}$ é conhecido como cota superior das raízes reais de ${\displaystyle P(x)=0}$. Para determinar a cota inferior deve se fazer o mesmo procedimento para ${\displaystyle P(-x)}$ e assim tem-se a cota inferior.

Por exemplo:

Dado o polinômio ${\displaystyle P(x)=x^{5}-3x^{4}+2x^{3}-5x^{2}+20x-10}$.

Consideramos a tarefa de localizar as raízes de ${\displaystyle P(x)=0}$.

Portando temos que todas as raízes positivas de ${\displaystyle P(x)=0}$ são menores que ${\displaystyle 3}$. Conclui-se que ${\displaystyle 3}$ é cota superior de ${\displaystyle P(x)}$.

Para localizar as raízes negativas faz-se o mesmo procedimento, porém, agora o procedimento é aplicado ao polinômio obtido ao multiplicar-se ${\displaystyle P(-x)=-x^{5}-3x^{4}-2x^{3}-5x^{2}-20x-10}$ por ${\displaystyle -1}$.

Portanto temos que todas as raízes negativas de ${\displaystyle P(x)=0}$ são maiores que ${\displaystyle -1}$. Conclui-se que ${\displaystyle -1}$ é Cota inferior de ${\displaystyle P(x)}$.

Temos então que as raízes de ${\displaystyle P(x)}$ pertencem ao intervalo ${\displaystyle [-1,3]}$.^[3]

Tendo a sequencia de valores ${\displaystyle q_{1}=|a_{n-1}|/|a_{n}|,q_{2}=(|a_{n-2}|/|a_{n}|)^{1/2},\ldots ,q_{n}=(|a_{0}|/|a_{n}|)^{1/n}}$ com ${\displaystyle a_{0}\neq 0,a_{n}\neq 0.}$

Assim todas as raízes de ${\displaystyle P_{n}(x)}$ encontram-se no círculo do plano complexo onde o raio é a soma dos dois maiores valores da sequencia.

Por exemplo:

Dado o polinômio ${\displaystyle P(x)=7x^{5}+3x^{4}-4x^{3}+2x^{2}+x-2}$

Verificamos que a série de fatores é:

${\displaystyle {[(3/7)^{1/1},(4/7)^{1/2},(2/7)^{1/3},(1/7)^{1/4},(2/7)^{1/5}}]}$.

Concluimos que a cota de Kojima é:

${\displaystyle (4/7)^{1/2}+(2/7)^{1/5}=1.534}$

Dado um polinômio ${\displaystyle P(x)}$, tem-se que toda raiz real ou complexa da equação ${\displaystyle P(x)=0}$ obedece a relação: ${\displaystyle \alpha <\beta }$. Onde temos que:

${\displaystyle \beta =\lim _{i\to +\infty }x_{i}.}$

Tendo o processo interativo com ${\displaystyle x_{0}>=0}$

${\displaystyle x_{i+1}=\left[{\frac {|a_{n-1}|}{|a_{n}|}}x^{n-1}+\ldots +{\frac {|a_{1}|}{|a_{n}|}}x+{\frac {|a_{0}|}{|a_{n}|}}\right]^{\frac {1}{n}}a_{0}\neq 0,a_{n}\neq 0.}$

Por exemplo:

Dado o polinômio ${\displaystyle P(x)=-5x^{4}+100x^{3}-75x^{2}+25x+125}$ determine a cota de Cauchy.

Temos então:

${\displaystyle x_{i+1}=(20x^{3}+15x^{2}+5x+25)^{0.25}}$

Com ${\displaystyle x_{0}=0}$, o processo interativo converge a ${\displaystyle 20.738}$.

Referências