Primorial

Na matemática, o primorial de um número natural n maior que 1 é denotado por ${\displaystyle n\#}$ e é definido como o produto de todos os números primos menores ou iguais a n. O primorial de 1 é definido como sendo igual à unidade.

• ${\displaystyle 1\#=1\,}$
• ${\displaystyle 2\#=2\,}$
• ${\displaystyle 3\#=2\cdot 3=6\,}$
• ${\displaystyle 4\#=2\cdot 3=6\,}$
• ${\displaystyle 5\#=2\cdot 3\cdot 5=30\,}$
• ${\displaystyle 6\#=2\cdot 3\cdot 5=30\,}$
• ${\displaystyle 7\#=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7=210\,}$

Eis uma tabela de primoriais. Veja também (sequência A002110 na OEIS).

Para todo ${\displaystyle n\geq 1\,}$, ${\displaystyle n\#<4^{n}\,}$ A demonstração se faz por indução matemática.

• Base:
  • ${\displaystyle 1\#=1<4^{1}\,}$
  • ${\displaystyle 2\#=2<4^{2}\,}$
• Indução
  • ${\displaystyle n>2\,}$, n é par:

${\displaystyle n\#=(n-1)\#<2^{n-1}<2^{n}\,}$

• • ${\displaystyle n>2\,}$, n é ímpar, então escreve-se ${\displaystyle n=2m+1\,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}4^{m}&={\frac {1}{2}}(1+1)^{2m+1}={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{2m+1}{\binom {2m+1}{k}}\\&>{\frac {1}{2}}{\Biggl (}{\binom {2m+1}{m}}+{\binom {2m+1}{m+1}}{\Biggr )}={\binom {2m+1}{m}}.\end{aligned}}}$

Como cada número primo p, ${\displaystyle m+1<p\leq 2m+1\,}$ é divisor de ${\displaystyle {\binom {2m+1}{m+1}}\,}$, temos que:

${\displaystyle \prod _{p>m+1}^{p\leq 2m+1}p\leq {\binom {2m+1}{m}}<4^{m}.\ }$

Agora, podemos estimar:

${\displaystyle n\#=(2m+1)\#=(m+1)\#\prod _{p>m+1}^{p\leq 2m+1}p<4^{m+1}4^{m}=4^{2m+1}=4^{n}.\ }$

E o resultado segue.

• Fatorial