Ponto isolado

Em topologia, um ponto ${\displaystyle x}$ de um espaço topológico ${\displaystyle X}$ é dito um ponto isolado de um subconjunto ${\displaystyle S\subseteq X}$ se ${\displaystyle x\in S}$ e existe em ${\displaystyle X}$ uma vizinhança perfurada de ${\displaystyle x}$ que não contém nenhum ponto de ${\displaystyle S}$.

Em particular, em um espaço métrico, um ponto ${\displaystyle x}$ é dito isolado se existe ${\displaystyle \varepsilon >0}$ tal que ${\displaystyle x}$ é o único ponto de ${\displaystyle S}$ no intervalo ${\displaystyle (x-\varepsilon ,x+\varepsilon )}$, ou seja, se existe uma bola em torno de ${\displaystyle x}$ que não contém nenhum ponto de ${\displaystyle S}$^[1]. Equivalentemente, um ponto ${\displaystyle x\in S}$ é dito isolado se e somente se ele não é um ponto de acumulação de ${\displaystyle S}$.

Um conjunto cujos elementos são todos pontos isolados é dito um conjunto discreto. Um conjunto que não contém pontos isolados é dito denso em si mesmo. Um conjunto fechado que não contém pontos isolados é chamado de conjunto perfeito.

• No conjunto ${\displaystyle S=\{0\}\cup [1,2]}$, o ponto ${\displaystyle 0}$ é um ponto isolado.
• O conjunto ${\displaystyle S=\left\{{\frac {1}{2}},{\frac {2}{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {4}{5}},\ldots ,{\frac {n}{n+1}},\ldots \right\}}$ é discreto, já que seus pontos são todos isolados, e seu único ponto de acumulação é o número ${\displaystyle 1}$, que não pertence ao conjunto^[2].
• O conjunto ${\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,3,\ldots \}}$ dos números naturais é um conjunto discreto.

Referências