Número plástico

Número plástico ${\displaystyle \psi }$ é uma constante matemática. É a solução real inequívoca da equação cúbica

${\displaystyle x^{3}-x-1=0\,.}$

Obtém-se^[1]

${\displaystyle \psi ={\frac {{\sqrt[{3}]{108+12{\sqrt {69}}}}+{\sqrt[{3}]{108-12{\sqrt {69}}}}}{6}}\,.}$

Na forma decimal resulta 1,324 717 957 244 746 025 960 908 854 ... (sequência A060006 na OEIS).

A definição do número plástico remete ao arquiteto neerlandês Hans van der Laan.^[2]

As duas soluções conjugadas complexas de

${\displaystyle x^{3}-x-1=0}$

são

${\displaystyle \left(-{\tfrac {1}{2}}\pm {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i\right){\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {\tfrac {23}{3}}}}}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\mp {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i\right){\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {\tfrac {23}{3}}}}}\approx -0{,}6626\pm 0{,}5623i}$

e podem ser expressas em função do número plástico ${\displaystyle \psi }$ como

${\displaystyle -{\frac {\psi }{2}}\pm i{\sqrt {\frac {3-\psi }{4\psi }}}}$ .

Como o produto das três soluções da equação cúbica é 1, a função modular da solução complexa é ${\displaystyle \psi ^{-1/2}\approx 0{,}86883696183}$  (sequência A191909 na OEIS).

O número plástico é o limite do quociente de membros sucessivos da sequência de Padovan^[1]

${\displaystyle \psi =\lim _{n\to \infty }{\frac {P_{n}}{P_{n-1}}}}$

Referências