Nó quiral

No campo matemática da teoria dos nós, um nó quiral é um nó que não é equivalente à sua imagem especular (quando idênticos e invertidos). Um nó orientado que é equivalente à sua imagem especular é um nó anfiquiral, também chamado de nó aquiral. A quiralidade de um nó é uma invariante do nó. A quiralidade de um nó pode ser classificada ainda mais dependendo se ele é ou não invertível.

Existem apenas cinco tipos de simetria de nós, indicados por quiralidade e invertibilidade: totalmente quiral, invertível, positivamente anfiquiral não invertível, negativamente anfiquiral não invertível e totalmente anfiquiral invertível.[1]

Contexto

A possível quiralidade de certos nós era suspeita desde 1847, quando Johann Listing afirmou que o trevo era quiral,[2] e isso foi provado por Max Dehn em 1914. P. G. Tait encontrou todos os nós anfiqueirais com até 10 cruzamentos e conjecturou que todos os nós anfiqueirais tinham número de cruzamentos pares. Mary Gertrude Haseman encontrou todos os 12 nós anfiqueirais de cruzamento e muitos de 14 cruzamentos no final da década de 1910.[3][4] Mas um contra-exemplo à conjectura de Tait, um nó anfiquiral de 15 cruzamentos, foi encontrado por Jim Hoste, Morwen Thistlethwaite e Jeff Weeks em 1998.[5] no entanto, a conjectura de Tait foi provada verdadeira para nós primos, alternados.[6]

Número de nós de cada tipo de quiralidade para cada número de cruzamento
Número de cruzamentos 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Sequência OEIS
Nós quirais 1 0 2 2 7 16 49 152 552 2118 9988 46698 253292 1387166 N/A
Nós invertíveis 1 0 2 2 7 16 47 125 365 1015 3069 8813 26712 78717 A051769
Nós totalmente quirais 0 0 0 0 0 0 2 27 187 1103 6919 37885 226580 1308449 A051766
Nós anfiquirais 0 1 0 1 0 5 0 13 0 58 0 274 1 1539 A052401
Nós anfiquirais totalmente não invertíveis 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 6 0 65 A051767
Nós anfiquirais negativos não invertíveis 0 0 0 0 0 1 0 6 0 40 0 227 1 1361 A051768
Nós totalmente anfiquirais 0 1 0 1 0 4 0 7 0 17 0 41 0 113 A052400
  • Ambos os possíveis nós trevo.
  • O nó trevo para canhotos.
    O nó trevo para canhotos.
  • O nó trevo para destros.
    O nó trevo para destros.

O nó quiral mais simples é o nó trevo, que foi demonstrado ser quiral por Max Dehn. Todos os nós toroidais não triviais são quirais. O polinômio de Alexander não consegue distinguir um nó de sua imagem especular, mas o polinômio de Jones consegue em alguns casos; se Vk(q) ≠ Vk(q)−1), então o nó é quiral; no entanto, o inverso não é verdadeiro. O polinômio de HOMFLY é ainda melhor na detecção de quiralidade, mas não há nenhum polinômio conhecido que possa detectar quiralidade completamente.[7]

Nó invertível

Um nó quiral que pode ser suavemente deformado sobre si mesmo com a orientação oposta é classificado como um nó invertível.[8] Exemplos incluem o nó trevo.

Nó totalmente quiral

Se um nó não for equivalente ao seu inverso ou à sua imagem especular, é um nó totalmente quiral, por exemplo, o nó 9 32.[8]

Nó anfiquiral

O nó em oito é o nó anfiquial mais simples.

Um nó anfiquiral é aquele que possui um auto-homeomorfismo de orientação reverso da 3-esfera, α, fixando o nó por conjunto. Todos os nós alternados anfiquirais têm número de cruzamento pares. O primeiro nó anfiquiral com número de cruzamento ímpar é um nó de 15 cruzamentos descoberto por Jim Hoste et al.[6]

Totalmente anfiquiral

Se um nó é isotópico tanto em relação à sua imagem reversa quanto à sua imagem especular, ele é totalmente anfiquiral. O nó mais simples com essa propriedade é o nó em oito.

Anfiquiral positivo

Se o auto-homeomorfismo, α, preserva a orientação do nó, diz-se que ele é anfiquiral positivo. Isso equivale a um nó isotópico ao seu espelho. Nenhum nó com número de cruzamentos menor que doze é anfiquiral positivo e não invertível.[8]

Anfiquiral negativo

O primeiro nó anfiquial negativo

Se o auto-homeomorfismo, α, inverte a orientação do nó, diz-se que ele é anfiquiral negativo. Isso equivale a um nó isotópico ao inverso de sua imagem especular. O nó não invertível com essa propriedade que apresenta o menor número de cruzamentos é o nó 817.[8]

Referências

  1. ↑ Hoste, Jim; Thistlethwaite, Morwen; Weeks, Jeff (1998), «The first 1,701,936 knots» (PDF), The Mathematical Intelligencer, 20 (4): 33–48, MR 1646740, doi:10.1007/BF03025227, arquivado do original (PDF) em 15 de dezembro de 2013 .
  2. ↑ Przytycki, Józef H. (1998). «Classical Roots of Knot Theory»Subscrição paga é requerida. Chaos, Solitons and Fractals. 9 (4/5): 531–45. Bibcode:1998CSF.....9..531P. doi:10.1016/S0960-0779(97)00107-0 
  3. ↑ Haseman, Mary Gertrude (1918). «XI.—On Knots, with a Census of the Amphicheirals with Twelve Crossings». Trans. R. Soc. Edinb. 52 (1): 235–55. doi:10.1017/S0080456800012102 
  4. ↑ Haseman, Mary Gertrude (1920). «XXIII.—Amphicheiral Knots». Trans. R. Soc. Edinb. 52 (3): 597–602. doi:10.1017/S0080456800004476 
  5. ↑ Hoste, Jim; Thistlethwaite, Morwen; Weeks, Jeff (1998). «The First 1,701,936 Knots»Subscrição paga é requerida. Math. Intell. 20 (4): 33–48. doi:10.1007/BF03025227 
  6. ↑ a b Weisstein, Eric W. «Amphichiral Knot». MathWorld (em inglês)  Accessed: May 5, 2013.
  7. ↑ Ramadevi, P.; Govindarajan, T.R.; Kaul, R.K. (1994). «Chirality of Knots 942 and 1071 and Chern-Simons Theory"». Mod. Phys. Lett. A. 9 (34): 3205–18. Bibcode:1994MPLA....9.3205R. arXiv:hep-th/9401095Acessível livremente. doi:10.1142/S0217732394003026 
  8. ↑ a b c d Three Dimensional Invariants, The Knot Atlas.
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