Método de Lax–Friedrichs

O método de Lax-Friedrichs, em homenagem à Peter Lax e Kurt Otto Friedrichs, é um método numérico para a resolução de equações hiperbólicas em derivadas parciais baseado em diferenças finitas. O método pode ser encontrado a partir do Esquema FTCS (Forward-time central-space). É um método de primeira ordem no tempo e segunda ordem no espaço que apresenta uma estabilidade condicional.

A formulação numérica pode ser deduzida a partir da equação da convecção linear:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+a{\frac {\partial u}{\partial x}}=0\quad \quad (1)}$

Ao discretizarmos a equação (1) pelo esquema FTCS(Forward-time central-space), utilizamos uma diferença adiantada em relação ao tempo (explícito no tempo) e uma diferença centrada em relação ao espaço, lembrando que a diferença centrada é obtida subtraindo ${\displaystyle u_{i+1}^{n}}$ de ${\displaystyle u_{i-1}^{n}}$ e isolando ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}}$ provenientes das séries de Taylor, onde obtemos a discretização da convecção linear pelo esquema FTCS:

${\displaystyle {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}+a{\frac {u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n}}{2\Delta x}}=0\quad \quad (2)}$

Utilizando a Análise de estabilidade de Von Neumann, descobrimos que esse método é incondicionalmente instável, para resolver esse problema de instabilidade, podemos fazer a seguinte substituição na equação (2):

${\displaystyle u_{i}^{n}={\frac {u_{i+1}^{n}+u_{i-1}^{n}}{2}}\,}$

Obtendo assim o método numérico de Lax-Friedrichs:

${\displaystyle u_{i}^{n+1}=\left({\frac {u_{i+1}^{n}+u_{i-1}^{n}}{2}}\right)-{\frac {a\Delta t}{2\Delta x}}\left(u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n}\right)\quad \quad (3)}$

O qual também pode ser mostrado em relação ao número de Courant–Friedrichs–Lewy(CFL):

${\displaystyle u_{i}^{n+1}=\left({\frac {u_{i+1}^{n}+u_{i-1}^{n}}{2}}\right)-{\frac {\sigma }{2}}\left(u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n}\right)\quad \quad (4)}$

A substituição de ${\displaystyle u_{i}^{n}}$ na equação (2) equivale a adicionar um termo de difusão artificial (também conhecida por viscosidade artificial), o que aumentará a estabilidade do método, deixando-o condicionalmente estável. Essa estabilidade condicional, pode ser verificada pela análise de estabilidade de Von Neumann:

• A solução exata do método numérico é representada por U;
• Erros de Round-off são representados por ${\displaystyle \epsilon }$;
• A solução numérica é representada por u, onde:

${\displaystyle u=U+\epsilon \quad \quad (5)}$

Substituindo (5) em (4) obtemos:

${\displaystyle U_{i}^{n+1}+\epsilon _{i}^{n+1}=\left({\frac {U_{i+1}^{n}+\epsilon _{i+1}^{n}+U_{i-1}^{n}+\epsilon _{i-1}^{n}}{2}}\right)-{\frac {\sigma }{2}}\left(U_{i+1}^{n}+\epsilon _{i+1}^{n}-(U_{i-1}^{n}+\epsilon _{i-1}^{n})\right)}$

Como U é a solução exata:

${\displaystyle U_{i}^{n+1}=\left({\frac {U_{i+1}^{n}+U_{i-1}^{n}}{2}}\right)-{\frac {\sigma }{2}}\left(U_{i+1}^{n}-U_{i-1}^{n}\right)}$

Então é verdadeiro que:

${\displaystyle \epsilon _{i}^{n+1}=\left({\frac {\epsilon _{i+1}^{n}+\epsilon _{i-1}^{n}}{2}}\right)-{\frac {\sigma }{2}}\left(\epsilon _{i+1}^{n}-\epsilon _{i-1}^{n}\right)\quad \quad (6)}$

Considerando que a função erro, ${\displaystyle \epsilon }$, pode ser expandida usando séries de Fourier:

${\displaystyle \epsilon _{i}^{n}=E^{n}e^{I\phi i}\quad \quad (onde\quad 0\leq \phi \leq \pi \quad e\quad I={\sqrt {-1}})}$

Podemos então substituir ${\displaystyle \epsilon _{i}^{n}}$ em (6), obtendo:

${\displaystyle E_{i}^{n+1}e^{I\phi i}=\left({\frac {E^{n}e^{I\phi (i+1)}+E^{n}e^{I\phi (i-1)}}{2}}\right)-{\frac {\sigma }{2}}\left(E^{n}e^{I\phi (i+1)}-E^{n}e^{I\phi (i-1)}\right)\quad \quad (7)}$

Dividindo ambos os lados da equação (7) por ${\displaystyle E^{n}e^{I\phi i}}$ e sabendo que o fator de amplitude é dado por ${\displaystyle G={\frac {E^{n+1}}{E^{n}}}}$ (proveniente da análise de estabilidade Von Neumann), a equação (7) fica:

${\displaystyle G=\left({\frac {e^{I\phi }+e^{-I\phi }}{2}}\right)-{\frac {\sigma }{2}}(e^{I\phi }-e^{-I\phi })\quad \quad (8)}$

Podemos usar as seguintes relações de Euler para simplificação da equação (8):

${\displaystyle e^{I\phi }=cos{\phi }+I\sin {\phi }\quad \quad \quad e\quad \quad \quad e^{-I\phi }=cos{\phi }-I\sin {\phi }}$

A equação (8) adquire a seguinte forma:

${\displaystyle G=\cos {\phi }-I\sin {\phi }\quad \quad (9)\,}$

O critério de Von Neumann afirma que o módulo do fator de amplitude deve ser menor ou igual a 1, a fim de que o método se mantenha estável:

${\displaystyle |G|\leq 1}$

Calculando então o módulo do fator de amplitude na equação (9), obtemos:

${\displaystyle |G|={\sqrt {\cos ^{2}{\phi }+\sigma ^{2}\sin ^{2}{\phi }}}}$

Onde verificamos, segundo o critétio de Von Neumann, que o método é estável se ${\displaystyle |\sigma |\leq 1}$, logo a formulação é condicionalmente estável.

Referências

• Hirsch, Charles (2007). Numerical Computation Of Internal & External Flows. [S.l.]: JohnWiley & Sons. ISBN 0750665947 
• Thomas, J.W. (1995). Numerical Partial Differential Equations: Finite Difference Methods. [S.l.: s.n.]