Lema de Grönwall

Em matemática, o lema de Grönwall estabelece uma importante estimativa aplicável à desigualdade envolvendo derivadas ou integrais. Existem duas versões do lema, a integral e a diferencial.

O Lema de Grönwall é uma ferramenta usada para obter variadas estimativas em equações diferenciais ordinárias.

Em particular, é usado para provar a unicidade de uma solução para o valor inicial do problema (como no Teorema de Picard-Lindelöf).

O Lema de Grönwall é nomeado a partir de Thomas Hakon Grönwall (1877-1932).

Se, para ${\displaystyle t_{0}\leq t\leq t_{1}}$, ${\displaystyle \phi (t)\geq 0}$ e ${\displaystyle \psi (t)\geq 0}$ são funções contínuas tais que a desigualdade

${\displaystyle \phi (t)\leq K+L\int _{t_{0}}^{t}\psi (s)\phi (s)\,\mathrm {d} s}$

se mantenha em ${\displaystyle t_{0}\leq t\leq t_{1}}$, com ${\displaystyle K}$ e ${\displaystyle L}$ sendo constantes positivas, então

${\displaystyle \phi (t)\leq K\exp \left(L\int _{t_{0}}^{t}\psi (s)\,\mathrm {d} s\right)}$

sendo ${\displaystyle t_{0}\leq t\leq t_{1}.}$

É fácil ver que:

${\displaystyle {\frac {\phi (t)}{K+L\int _{t_{0}}^{t}\psi (s)\phi (s)\,\mathrm {d} s}}\leq 1}$

definindo ${\displaystyle u(t):=K+L\int _{t_{0}}^{t}\psi (s)\phi (s)\,\mathrm {d} s}$, temos:

${\displaystyle {\frac {u'}{u}}\leq L\psi (s)}$

Integrando entre ${\displaystyle t_{0}\,}$ e ${\displaystyle t\,}$, obtemos:

${\displaystyle \ln u-\ln u(t_{0})\leq L\int _{t_{0}}^{t}\psi (s)ds}$

Usando exponenciais:

${\displaystyle u(t)\leq u(t_{0})\exp \left(L\int _{t_{0}}^{t}\psi (s)ds\right)}$

como ${\displaystyle u(t_{0})=K\,}$ e ${\displaystyle \phi (t)\leq u(t)\,}$, vale:

${\displaystyle \phi (t)\leq K\exp \left(L\int _{t_{0}}^{t}\psi (s)ds\right)}$

Seja ${\displaystyle u(t)\,}$ uma função não negativa e diferenciável em ${\displaystyle [0,T]\,}$, que satisfaz:

${\displaystyle u'(t)\leq f(t)u(t)+g(t)\,}$, onde ${\displaystyle f(t)\,}$ e ${\displaystyle g(t)\,}$ são funções integráveis em [0,T].

Então:

• ${\displaystyle u(t)\leq u(0)e^{\int _{0}^{t}f(\tau )d\tau }+\int _{0}^{t}g(s)e^{\int _{s}^{t}f(\tau )d\tau }ds,~\forall t\in [0,T]\,}$

Se ${\displaystyle f(t)\,}$ e ${\displaystyle g(t)\,}$ forem não negativas, então a expressão se simplifica a:

${\displaystyle u(t)\leq e^{\int _{0}^{t}f(\tau )d\tau }\left[u(0)+\int _{0}^{t}g(s)ds\right],\forall t\in [0,T]\,}$

Basta multiplicar a expressão pelo fator integrante ${\displaystyle e^{\int _{0}^{t}f(\tau )d\tau }\,}$ e rearranjar os termos:

${\displaystyle \left(u(t)e^{-\int _{0}^{t}f(\tau )d\tau }\right)'\leq g(t)e^{-\int _{0}^{t}f(\tau )d\tau }\,}$

Integra-se de 0 a t:

${\displaystyle u(t)e^{-\int _{0}^{t}f(\tau )d\tau }-u(0)\leq \int _{0}^{t}g(s)e^{-\int _{0}^{s}f(\tau )d\tau }ds\,}$

${\displaystyle u(t)\leq e^{\int _{0}^{t}f(\tau )d\tau }\left[u(0)+\int _{0}^{t}g(s)e^{\int _{s}^{t}f(\tau )d\tau }ds\right]\,}$