Lema de Bhaskara

Lema de Bhaskara é uma identidade matemática usada como lema matemático durante o método chakravala. Diz que:

${\displaystyle \,Nx^{2}+k=y^{2}\implies \,N\left({\frac {mx+y}{k}}\right)^{2}+{\frac {m^{2}-N}{k}}=\left({\frac {my+Nx}{k}}\right)^{2}}$

para inteiros ${\displaystyle m,\,x,\,y,\,N,}$ e inteiro diferente de zero ${\displaystyle k}$.

Foi teoremizado pelo matemático indiano Bhaskara Akaria, daí seu nome.

A prova matemática segue de manipulações algébricas simples como segue: multiplique ambos os lados da equação por ${\displaystyle m^{2}-N}$, adicionar ${\displaystyle N^{2}x^{2}+2Nmxy+Ny^{2}}$, fatorar e dividir por ${\displaystyle k^{2}}$.

${\displaystyle \,Nx^{2}+k=y^{2}\implies Nm^{2}x^{2}-N^{2}x^{2}+k(m^{2}-N)=m^{2}y^{2}-Ny^{2}}$

${\displaystyle \implies Nm^{2}x^{2}+2Nmxy+Ny^{2}+k(m^{2}-N)=m^{2}y^{2}+2Nmxy+N^{2}x^{2}}$

${\displaystyle \implies N(mx+y)^{2}+k(m^{2}-N)=(my+Nx)^{2}}$

${\displaystyle \implies \,N\left({\frac {mx+y}{k}}\right)^{2}+{\frac {m^{2}-N}{k}}=\left({\frac {my+Nx}{k}}\right)^{2}.}$

Desde que nem ${\displaystyle k}$ nem ${\displaystyle m^{2}-N}$ sejam iguais a zero, a conclusão acima é verdadeira em ambas as direções. (Este lema matemático vale para números reais ou complexos, bem como inteiros.)

• C. O. Selenius, "Rationale of the chakravala process of Jayadeva and Bhaskara II", Historia Mathematica, 2 (1975), 167-184.
• C. O. Selenius, Kettenbruch theoretische Erklarung der zyklischen Methode zur Losung der Bhaskara-Pell-Gleichung, Acta Acad. Abo. Math. Phys. 23 (10) (1963).
• George Gheverghese Joseph, The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (1975).

• Introduction to chakravala