Geometria dos números

Geometria dos números é a parte da Teoria dos números que utiliza a Geometria para o estudo de números algébricos. Tipicamente, um anel de inteiros algébricos é visto como uma rede em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, e o estudo dessas redes fornece informações fundamentais sobre números algébricos.^[1] Hermann Minkowski (1896) iniciou esta linha de pesquisa aos 26 anos em seu livro The Geometry of Numbers.^[2]

A geometria dos números tem uma estreita relação com outros campos da matemática, especialmente a análise funcional e a aproximação diofantina, o problema de encontrar números racionais que aproximam uma quantidade irracional.^[3]

Suponha que ${\displaystyle \Gamma }$ seja uma rede no espaço euclidiano ${\displaystyle n}$-dimensional ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ e ${\displaystyle K}$ seja um corpo convexo centralmente simétrico. Teorema de Minkowski, às vezes chamado de primeiro teorema de Minkowski, afirma que se ${\displaystyle \operatorname {vol} (K)>2^{n}\operatorname {vol} (\mathbb {R} ^{n}/\Gamma )}$, então ${\displaystyle K}$ contém um vetor não nulo em ${\displaystyle \Gamma }$.

O mínimo sucessivo ${\displaystyle \lambda _{k}}$ é definido como o inf dos números ${\displaystyle \lambda }$ tais que ${\displaystyle \lambda K}$ contém ${\displaystyle k}$ vetores linearmente independentes de ${\displaystyle \Gamma }$. O teorema de Minkowski sobre mínimos sucessivos, às vezes chamado de segundo teorema de Minkowski, é um fortalecimento do primeiro teorema e afirma que^[4]

${\displaystyle \lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}\operatorname {vol} (K)\leq 2^{n}\operatorname {vol} (\mathbb {R} ^{n}/\Gamma ).}$

Entre 1930 e 1960, pesquisas sobre a geometria dos números foram conduzidas por muitos teóricos dos números (incluindo Louis Mordell, Harold Davenport e Carl Ludwig Siegel). Em anos recentes, Lenstra, Brion e Barvinok desenvolveram teorias combinatórias que enumeram os pontos de rede em alguns corpos convexos.^[5]

Na geometria dos números, o teorema do subespaço foi obtido por Wolfgang M. Schmidt em 1972.^[6] Ele estabelece que, se n é um inteiro positivo, e L₁,...,L_n são formas lineares linearmente independentes em n variáveis com coeficientes algébricos e se ε>0 é qualquer número real dado, então os pontos inteiros não nulos x em n coordenadas com

${\displaystyle |L_{1}(x)\cdots L_{n}(x)|<|x|^{-\varepsilon }}$

pertencem a um número finito de subespaços próprios de Qⁿ.

A geometria dos números de Minkowski teve uma profunda influência na análise funcional. Minkowski provou que corpos convexos simétricos induzem normas em espaços vetoriais de dimensão finita. O teorema de Minkowski foi generalizado para espaço vetorial topológico por Kolmogorov, cujo teorema afirma que os conjuntos convexos simétricos que são fechados e limitados geram a topologia de um espaço de Banach.^[7]

Pesquisadores continuam a estudar generalizações para conjuntos estrelados e outros conjuntos não convexos.^[8]

Referências

• Matthias Beck, Sinai Robins. Computing the continuous discretely: Integer-point enumeration in polyhedra, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 2007.
• Enrico Bombieri; Vaaler, J. (fevereiro de 1983). «On Siegel's lemma». Inventiones Mathematicae. 73 (1): 11–32. Bibcode:1983InMat..73...11B. doi:10.1007/BF01393823 
• Enrico Bombieri; Walter Gubler (2006). Heights in Diophantine Geometry. [S.l.]: Cambridge U. P. 
• J. W. S. Cassels. An Introduction to the Geometry of Numbers. Springer Classics in Mathematics, Springer-Verlag 1997 (reprint of 1959 and 1971 Springer-Verlag editions).
• John Horton Conway and N. J. A. Sloane, Sphere Packings, Lattices and Groups, Springer-Verlag, NY, 3rd ed., 1998.
• R. J. Gardner, Geometric tomography, Cambridge University Press, New York, 1995. Second edition: 2006.
• P. M. Gruber, Convex and discrete geometry, Springer-Verlag, New York, 2007.
• P. M. Gruber, J. M. Wills (editors), Handbook of convex geometry. Vol. A. B, North-Holland, Amsterdam, 1993.
• M. Grötschel, Lovász, L., A. Schrijver: Geometric Algorithms and Combinatorial Optimization, Springer, 1988
• Hancock, Harris (1939). Development of the Minkowski Geometry of Numbers. [S.l.]: Macmillan  (Republished in 1964 by Dover.)
• Edmund Hlawka, Johannes Schoißengeier, Rudolf Taschner. Geometric and Analytic Number Theory. Universitext. Springer-Verlag, 1991.
• Kalton, Nigel J.; Peck, N. Tenney; Roberts, James W. (1984), An F-space sampler, ISBN 0-521-27585-7, London Mathematical Society Lecture Note Series, 89, Cambridge: Cambridge University Press, pp. xii+240, MR 0808777 
• C. G. Lekkerkererker. Geometry of Numbers. Wolters-Noordhoff, North Holland, Wiley. 1969.
• Lenstra, A. K.; Lenstra, H. W. Jr.; Lovász, L. (1982). «Factoring polynomials with rational coefficients» (PDF). Mathematische Annalen. 261 (4): 515–534. MR 0682664. doi:10.1007/BF01457454. hdl:1887/3810 
• Lovász, L.: An Algorithmic Theory of Numbers, Graphs, and Convexity, CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics 50, SIAM, Philadelphia, Pennsylvania, 1986
• Malyshev, A.V. (2001), «Geometry of numbers», in: Hazewinkel, Michiel, Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer 
• Minkowski, Hermann (1910), Geometrie der Zahlen, Leipzig and Berlin: R. G. Teubner, JFM 41.0239.03, MR 0249269, consultado em 28 de fevereiro de 2016 
• Wolfgang M. Schmidt. Diophantine approximation. Lecture Notes in Mathematics 785. Springer. (1980 [1996 with minor corrections])
• Schmidt, Wolfgang M. (1996). Diophantine approximations and Diophantine equations. Col: Lecture Notes in Mathematics. 1467 2nd ed. [S.l.]: Springer-Verlag. ISBN 3-540-54058-X. Zbl 0754.11020 
• Siegel, Carl Ludwig (1989). Lectures on the Geometry of Numbers. [S.l.]: Springer-Verlag 
• Rolf Schneider, Convex bodies: the Brunn-Minkowski theory, Cambridge University Press, Cambridge, 1993.
• Anthony C. Thompson, Minkowski geometry, Cambridge University Press, Cambridge, 1996.
• Hermann Weyl. Theory of reduction for arithmetical equivalence . Trans. Amer. Math. Soc. 48 (1940) 126–164. doi:10.1090/S0002-9947-1940-0002345-2
• Hermann Weyl. Theory of reduction for arithmetical equivalence. II . Trans. Amer. Math. Soc. 51 (1942) 203–231. doi:10.2307/1989946