Distribuição triangular

Em probabilidade e estatística, a distribuição triangular é a distribuição de probabilidade contínua que possui um valor mínimo a, um valor máximo b e uma moda c, de modo que a função densidade de probabilidade é zero para os extremos (a e b), e afim entre cada extremo e a moda, de forma que o gráfico dela é um triângulo.

A distribuição triangular é uma distribuição muito simples e útil quando se tem poucos dados, conhecendo-se um valor mínimo (a), um valor máximo (b) e um valor mais provável (c) é possível obter uma distribuição triangular que resulta em uma boa aproximação das probabilidades de ocorrência do evento X.

A função densidade de probabilidade é:

${\displaystyle f(x|a,b,c)={\begin{cases}{\frac {2(x-a)}{(b-a)(c-a)}}&{\text{for }}a\leq x<c\\&\\{\frac {2}{b-a}}&{\text{for }}x=c\\&\\{\frac {2(b-x)}{(b-a)(b-c)}}&{\text{for }}c<x\leq b\\&\\0&{\text{for any other case}}\end{cases}}}$

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• Parâmetros: ${\displaystyle a\colon a\in (-\infty ,\infty )}$
  ${\displaystyle b\colon b>a}$
  ${\displaystyle c\colon a\leq c\leq b}$
• Suporte: ${\displaystyle a\leq x\leq b}$
• Função de probabilidade acumulada: =${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {(x-a)^{2}}{(b-a)(c-a)}}&{\text{for }}a\leq x<c\\&\\{\frac {c-a}{b-a}}&{\text{for }}x=c\\&\\1-{\frac {(b-x)^{2}}{(b-a)(b-c)}}&{\text{for }}c<x\leq b\end{cases}}}$Um exemplo prático da aplicação da distribuição uniforme pode ser conforme segue abaixo: Digamos que uma determinada empresa precise fazer um investimento, por qualquer que seja o motivo a empresa não conhece exatamente o montante desse investimento, mas conhece o valor mais provável e também os valores mínimo e máximo. Ela estima um valor mais provável para esse investimento em R$2.000.000,00, e estima que o valor mínimo que esse investimento pode assumir é 80% do valor mais provável e que o valor máximo que esse investimento pode assumir é 105% do valor mais provável. Nesse caso temos: c=2.000.000 a=1.600.000 b=2.100.000 Qual seria a probabilidade desse investimento ser de até R$1.800.000,00 ?

${\displaystyle F(x<1.800.000)=((1.800.000-1.600.000)^{2})/(2.100.000-1.600.000)*(2.000.000-1.600.000)}$

${\displaystyle F(x<1.800.000)=0,2}$

${\displaystyle F(x<1.800.000)=20\%}$

Média: ${\displaystyle {\frac {a+b+c}{3}}}$

• Mediana: ${\displaystyle {\begin{cases}a+{\frac {\sqrt {(b-a)(c-a)}}{\sqrt {2}}}&{\text{for }}c\!\geq \!{\frac {b\!+\!a}{2}}\\&\\b-{\frac {\sqrt {(b-a)(b-c)}}{\sqrt {2}}}&{\text{for }}c\!\leq \!{\frac {b\!+\!a}{2}}\end{cases}}}$
• Moda: ${\displaystyle c\,}$
• Variância: ${\displaystyle {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc}{18}}}$
• Obliquidade: ${\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}(a\!+\!b\!-\!2c)(2a\!-\!b\!-\!c)(a\!-\!2b\!+\!c)}{5(a^{2}\!+\!b^{2}\!+\!c^{2}\!-\!ab\!-\!ac\!-\!bc)^{\frac {3}{2}}}}}$
• Curtose: ${\displaystyle -{\frac {3}{5}}}$
• Entropia: ${\displaystyle {\frac {1}{2}}+\ln \left({\frac {b-a}{2}}\right)}$
• Função geradora de momentos: ${\displaystyle 2{\frac {(b\!-\!c)e^{at}\!-\!(b\!-\!a)e^{ct}\!+\!(c\!-\!a)e^{bt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^{2}}}}$
• Função característica: ${\displaystyle -2{\frac {(b\!-\!c)e^{iat}\!-\!(b\!-\!a)e^{ict}\!+\!(c\!-\!a)e^{ibt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^{2}}}}$

A Distribuição Triangular é normalmente usada quando existe uma ideia subjetiva da população, através dos seus extremos e da sua moda.

• Weisstein, Eric W. «Triangular Distribution». MathWorld (em inglês) 
• «Triangle Distribution» (PDF). , decisionsciences.org 
• «Triangular Distribution». , brighton-webs.co.uk