Desigualdade de martingale de Doob

Na matemática, a desigualdade de martingale de Doob é um resultado no estudo dos processos estocásticos. Esta dá um limite sobre a probabilidade de que um processo estocástico exceda qualquer dado valor sobre um dado intervalo de tempo. Como o nome sugere, o resultado é geralmente dado no caso em que o processo é um martingale negativo, mas o resultado também é válido para submartingales não negativos.

A desigualdade recebe este nome em homenagem ao matemático norte-americano Joseph Leo Doob.^[1]

Considere ${\displaystyle X}$ um submartingale que assume valores reais não negativos, seja em tempo discreto, seja em tempo contínuo. Isto é, para todos os tempos ${\displaystyle s}$ e ${\displaystyle t}$ com ${\displaystyle s<t}$:

${\displaystyle X_{s}\leq \mathbf {E} \left[X_{t}{\big |}{\mathcal {F}}_{s}\right].}$

Para um submartingale de tempo contínuo, assume-se posteriormente que o processo é càdlàg. Então, para qualquer constante ${\displaystyle C>0}$,

${\displaystyle \mathbf {P} \left[\sup _{0\leq t\leq T}X_{t}\geq C\right]\leq {\frac {\mathbf {E} \left[X_{T}\right]}{C}}.}$

Acima, como é convencional, ${\displaystyle \mathbf {P} }$ denota a medida de probabilidade no espaço amostral ${\displaystyle \Omega }$ do processo estocástico:

${\displaystyle X:[0,T]\times \Omega \to [0,+\infty )}$

e ${\displaystyle \mathbf {E} }$ denota o valor esperado com respeito à medida de probabilidade ${\displaystyle \mathbf {P} }$, isto é, a integral

${\displaystyle \mathbf {E} [X_{T}]=\int _{\Omega }X_{T}(\omega )\mathrm {d} \mathbf {P} (\omega )}$

no sentido da integração de Lebesgue. ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}}$ denota a sigma-álgebra gerada por todas as variáveis aleatórias ${\displaystyle X_{i}}$ com ${\displaystyle i\leq s}$. A coleção de tais sigma-álgebras forma uma filtração do espaço de probabilidade.^[2]

Há desigualdades de (sub)martingale posteriores que também se devem a Doob. Com os mesmos pressupostos sobre ${\displaystyle X}$ como acima, considere:

${\displaystyle S_{t}=\sup _{0\leq s\leq t}X_{s}}$

e, para ${\displaystyle p\geq 1}$, considere:

${\displaystyle \|X_{t}\|_{p}=\|X_{t}\|_{L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbf {P} )}=\left(\mathbf {E} \left[|X_{t}|^{p}\right]\right)^{\frac {1}{p}}.}$

Nesta notação, a desigualdade de Doob como afirmada acima lê:

${\displaystyle \mathbf {P} \left[S_{T}\geq C\right]\leq {\frac {\|X_{T}\|_{1}}{C}}.}$

As seguintes desigualdade também se aplicam: para ${\displaystyle p=1}$,

${\displaystyle \|S_{T}\|_{p}\leq {\frac {e}{e-1}}\left(1+\|X_{T}\log ^{+}X_{T}\|_{p}\right)}$

e, para ${\displaystyle p>1}$,

${\displaystyle \|X_{T}\|_{p}\leq \|S_{T}\|_{p}\leq {\frac {p}{p-1}}\|X_{T}\|_{p}.}$^[3]

A desigualdade de Doob para martingales de tempo discreto implica a desigualdade de Kolmogorov: se ${\displaystyle X_{1},X_{2},...}$ for uma sequência de variáveis aleatórias independentes de valores reais, cada uma com média zero, fica claro que:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} \left[X_{1}+\dots +X_{n}+X_{n+1}{\big |}X_{1},\dots ,X_{n}\right]&=X_{1}+\dots +X_{n}+\mathbf {E} \left[X_{n+1}{\big |}X_{1},\dots ,X_{n}\right]\\&=X_{1}+\cdots +X_{n},\end{aligned}},}$

de modo que ${\displaystyle M_{n}=X_{1}+...+X_{n}}$ é um martingale. Note que a desigualdade de Jensen implica que ${\displaystyle |M_{n}|}$ é um submartingale não negativo se ${\displaystyle M_{n}}$ for um martingale. Assim, assumindo ${\displaystyle p=2}$ na desigualdade de martingale de Doob,

${\displaystyle \mathbf {P} \left[\max _{1\leq i\leq n}\left|M_{i}\right|\geq \lambda \right]\leq {\frac {\mathbf {E} \left[M_{n}^{2}\right]}{\lambda ^{2}}},}$

que é precisamente a afirmação da desigualdade de Kolmogorov.^[3]

Considere que ${\displaystyle B}$ denota um movimento browniano unidimensional canônico. Então,

${\displaystyle \mathbf {P} \left[\sup _{0\leq t\leq T}B_{t}\geq C\right]\leq \exp \left(-{\frac {C^{2}}{2T}}\right).}$

A prova é como segue: já que a função exponencial é monotonamente crescente, para qualquer ${\displaystyle \lambda }$ não negativo,

${\displaystyle \left\{\sup _{0\leq t\leq T}B_{t}\geq C\right\}=\left\{\sup _{0\leq t\leq T}\exp(\lambda B_{t})\geq \exp(\lambda C)\right\}.}$

Pela desigualdade de Doob e, já que a exponencial do movimento browniano é um submartingale positivo,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} \left[\sup _{0\leq t\leq T}B_{t}\geq C\right]&=\mathbf {P} \left[\sup _{0\leq t\leq T}\exp(\lambda B_{t})\geq \exp(\lambda C)\right]\\&\leq {\frac {\mathbf {E} \left[\exp(\lambda B_{T})\right]}{\exp(\lambda C)}}\\&=\exp \left({\tfrac {1}{2}}\lambda ^{2}T-\lambda C\right)&&\mathbf {E} \left[\exp(\lambda B_{t})\right]=\exp \left({\tfrac {1}{2}}\lambda ^{2}t\right)\end{aligned}}.}$

Já que o lado esquerdo não depende de ${\displaystyle \lambda }$, escolhe-se ${\displaystyle \lambda }$ para minimizar o lado direito. ${\displaystyle \lambda =C/T}$ dá a desigualdade desejada.^[4]