Desigualdade de Boole

Teoria das probabilidades
Axiomas de probabilidade
Espaço de probabilidade Espaço amostral Evento primário Evento Variável aleatória Medida de probabilidade
Evento complementar Eventos mutuamente exclusivos Probabilidade conjunta Probabilidade marginal Probabilidade condicional
Independência Independência condicional Lei da probabilidade total Lei dos grandes números Teorema de Bayes Desigualdade de Boole
Diagrama de Venn Diagrama de árvore

Em teoria da probabilidade, a desigualdade de Boole diz que, para qualquer conjunto de eventos finito ou contável, a probabilidade de que pelo menos um dos eventos aconteça não é maior que a soma das probabilidades dos eventos individuais. A desigualdade de Boole é nomeada em homenagem a George Boole.

Formalmente, para um conjunto contável de eventos de ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\dots }$, temos

${\displaystyle {\mathbb {P} }{\biggl (}\bigcup _{i}A_{i}{\biggr )}\leq \sum _{i}{\mathbb {P} }(A_{i}).}$

Em termos de teoria da medida, a desigualdade de Boole segue do fato de que uma medida (e, certamente, qualquer medida de probabilidade) é ${\displaystyle \sigma }$-sub-aditivo.

A desigualdade de Boole pode ser provada para conjuntos de eventos finitos, utilizando o método de indução.

Para o caso ${\displaystyle n=1}$, segue-se que

${\displaystyle \mathbb {P} (A_{1})\leq \mathbb {P} (A_{1})}$.

Para o caso ${\displaystyle n}$, tem-se que

${\displaystyle {\mathbb {P} }{\biggl (}\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}{\biggr )}\leq \sum _{i=1}^{n}{\mathbb {P} }(A_{i})}$.

Como ${\displaystyle \mathbb {P} (A\cup B)=\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B)-\mathbb {P} (A\cap B)}$, e porque a operação de união é associativa, tem-se que

${\displaystyle {\mathbb {P} }{\biggl (}\bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i}{\biggr )}={\mathbb {P} }{\biggl (}\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}{\biggr )}+\mathbb {P} (A_{n+1})-{\mathbb {P} }{\biggl (}\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\cap A_{n+1}{\biggr )}}$.

Como

${\displaystyle {\mathbb {P} }{\biggl (}\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\cap A_{n+1}{\biggr )}\geq 0}$,

pelo primeiro axioma de probabilidade, tem-se que

${\displaystyle {\mathbb {P} }{\biggl (}\bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i}{\biggr )}\leq {\mathbb {P} }{\biggl (}\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}{\biggr )}+\mathbb {P} (A_{n+1})}$,

e, portanto,

${\displaystyle {\mathbb {P} }{\biggl (}\bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i}{\biggr )}\leq \sum _{i=1}^{n}{\mathbb {P} }(A_{i})+\mathbb {P} (A_{n+1})=\sum _{i=1}^{n+1}{\mathbb {P} }(A_{i})}$.

Para quaisquer eventos ${\displaystyle A_{1}...A_{i}}$ em um espaço de probabilidade, tem-se que

${\displaystyle \mathbb {P} (\bigcup _{i}A_{i})\leq \sum _{i}\mathbb {P} (A_{i})}$

Um dos axiomas de um espaço de probabilidade é que, se ${\displaystyle B_{1}...B_{i}}$ são subconjuntos disjuntos do espaço de probabilidade, então

${\displaystyle \mathbb {P} (\bigcup _{i}B_{i})=\sum _{i}\mathbb {P} (B_{i})}$

o que é chamado de aditividade contável.

Se ${\displaystyle B\subset A}$ então ${\displaystyle \mathbb {P} (B)\leq \mathbb {P} (A)}$

De fato, a partir dos axiomas de uma distribuição de probabilidade,

${\displaystyle \mathbb {P} (A)=\mathbb {P} (B)+\mathbb {P} (A-B)}$

Observando-se que ambos os termos à direita são não-negativos.

Então é preciso modificar os conjuntos de ${\displaystyle A_{i}}$ para que eles se torne disjuntos.

${\displaystyle B_{i}=A_{i}-\bigcup _{j=1}^{i-1}A_{j}}$

Se ${\displaystyle B_{i}\subset A_{i}}$, então sabe-se que

${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i}=\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}$

Portanto, pode-se fazer a seguinte equação:

${\displaystyle \mathbb {P} (\bigcup _{i}A_{i})=\mathbb {P} (\bigcup _{i}B_{i})=\sum _{i}\mathbb {P} (B_{i})\leq \sum _{i}\mathbb {P} (A_{i})}$

A desigualdade de Boole pode ser generalizada para encontrar limitantes superiores e inferiores sobre a probabilidade de uniões finitas de eventos.^[1] Estes limites são conhecidos como desigualdades de Bonferroni, em homenagem à Carlo Emilio Bonferroni.

Definindo

${\displaystyle S_{1}:=\sum _{i=1}^{n}{\mathbb {P} }(A_{i}),}$

e

${\displaystyle S_{2}:=\sum _{1\leq i<j\leq n}{\mathbb {P} }(A_{i}\cap A_{j}),}$

bem como

${\displaystyle S_{k}:=\sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}{\mathbb {P} }(A_{i_{1}}\cap \cdots \cap A_{i_{k}})}$

para todos os números inteiros de ${\displaystyle k}$ em ${\displaystyle \{3,\dots ,n\}}$.

Então, para ${\displaystyle k}$ ímpares em ${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$,

${\displaystyle {\mathbb {P} }{\biggl (}\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}{\biggr )}\leq \sum _{j=1}^{k}(-1)^{j-1}S_{j}}$,

e para ${\displaystyle k}$ pares em ${\displaystyle \{2,\dots ,n\}}$,

${\displaystyle {\mathbb {P} }{\biggl (}\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}{\biggr )}\geq \sum _{j=1}^{k}(-1)^{j-1}S_{j}}$.

A desigualdade de Boole é recuperada definindo ${\displaystyle k=1}$. Quando ${\displaystyle k=n}$, então a igualdade se mantém e a identidade resultante é o princípio da inclusão–exclusão.

• Conjuntos
• Evento
• Princípio da inclusão–exclusão diluído
• Teoria dos conjuntos
• George Boole

Referências

• Bonferroni, Carlo E. (1936), «Teoria statistica delle classi e calcolo delle probabilità», Pubbl. d. R. Ist. Super. di Sci. Econom. e Commerciali di Firenze (em italiano), 8: 1–62, Zbl 0016.41103 
• Dohmen, Klaus (2003), Improved Bonferroni Inequalities via Abstract Tubes. Inequalities and Identities of Inclusion–Exclusion Type, ISBN 3-540-20025-8, Lecture Notes in Mathematics, 1826, Berlin: Springer-Verlag, pp. viii+113, MR 2019293, Zbl 1026.05009 
• Galambos, János; Simonelli, Italo (1996), Bonferroni-Type Inequalities with Applications, ISBN 0-387-94776-0, Probability and Its Applications, New York: Springer-Verlag, pp. x+269, MR 1402242, Zbl 0869.60014 
• Galambos, János (1977), «Bonferroni inequalities», Annals of Probability, 5 (4): 577–581, JSTOR 2243081, MR 0448478, Zbl 0369.60018, doi:10.1214/aop/1176995765 
• Galambos, János (2001), «Bonferroni inequalities», in: Hazewinkel, Michiel, Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer 

Este artigo incorpora material de Bonferroni inequalities do PlanetMath, que é licenciado sob GFDL.