Coordenadas toroidais

Coordenadas toroidais são um sistema de coordenadas ortogonais, tridimensional que é gerado pela rotação do sistema de coordenadas bipolares sobre um eixo que separa seus dois focos. Assim, os dois focos ${\displaystyle F_{1}}$ e ${\displaystyle F_{2}}$ em coordenadas bipolares se tornam um anel de raio ${\displaystyle a}$ no plano ${\displaystyle xy}$ plane do sistema de coordenadas toroidais; o eixo ${\displaystyle z}$ é o eixo de rotação.

A definição mais comum das coordenadas toroidais ${\displaystyle (\sigma ,\tau ,\phi )}$ é

${\displaystyle x=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\cos \phi }$

${\displaystyle y=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\sin \phi }$

${\displaystyle z=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$

onde a coordenada ${\displaystyle \sigma }$ de um ponto ${\displaystyle P}$ é igual ao ângulo ${\displaystyle F_{1}PF_{2}}$ e a coordenada ${\displaystyle \tau }$ é igual ao logaritmo natural da razão das distâncias ${\displaystyle d_{1}}$ e ${\displaystyle d_{2}}$

${\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}.}$

As coordenadas (σ, τ, φ) podem ser calculadas a partir das coordenadas cartesianas (x, y, z) como segue. O ângulo azimutal φ é dado pela fórmula

${\displaystyle \tan \phi ={\frac {y}{x}}}$

O raio cilíndrico ρ do ponto P é dado por

${\displaystyle \rho ^{2}=x^{2}+y^{2}}$

e sua distância ao foco no plano definido por φ é dado por

${\displaystyle d_{1}^{2}=(\rho +a)^{2}+z^{2}}$

${\displaystyle d_{2}^{2}=(\rho -a)^{2}+z^{2}}$

A coordenada τ é igual ao logaritmo natural das distâncias focais.

${\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}}$

Os fatores de escala para as coordenadas toroidais ${\displaystyle \sigma }$ e ${\displaystyle \tau }$ são

${\displaystyle h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$

enquanto o fator de escala azimutal é

${\displaystyle h_{\phi }={\frac {a\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$

Assim, um elemento infinitesimal de volume, nessas coordenadas, é dado por

${\displaystyle dV={\frac {a^{3}\sinh \tau }{\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}}d\sigma d\tau d\phi }$

e o laplaciano é toma a forma

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}{a^{2}\sinh \tau }}\left[\sinh \tau {\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\frac {1}{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)+{\frac {1}{\sinh \tau \left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}\right]}$

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• Coordenadas Toroidais no MathWorld