Conjunto de Vitali

Na matemática, um conjunto de Vitali é um subconjunto dos números reais, que pode ser construído, mas cuja existência é consequência do axioma da escolha, e que serve como contra-exemplo para várias propriedades ou como bloco construtor de vários paradoxos.

Em resumo, ele é um conjunto de números reais tal que qualquer número real é a soma de um único elemento dele e um único número racional.

Seja ${\displaystyle x\sim y\,}$ a relação em ${\displaystyle \left[0,1\right]\subset \mathbb {R} \,}$ definida por ${\displaystyle x\sim y\Leftrightarrow x-y\in \mathbb {Q} \,}$. Como essa relação é de equivalência, podemos escolher (e nesse ponto estamos conjurando o axioma da escolha) um representante de cada classe de equivalência. O Conjunto de Vitali é esse conjunto formado pelos representantes de cada classe de equivalência.

Aqui cabe uma observação: o axioma da escolha garante que esse conjunto existe, mas não garante que ele seja único; então devíamos dizer um (em vez de o) Conjunto de Vitali.

Denote por ${\displaystyle V\,}$ um conjunto de Vitali e por ${\displaystyle \mu ^{*}\,}$ a medida exterior de Lebesgue.

Considere ${\displaystyle \{r_{j}\}_{j=1}^{\infty }\,}$ uma enumeração para ${\displaystyle [-1,1]\cap \mathbb {Q} \,}$ e construa o conjunto:

${\displaystyle S=\bigcup _{j=1}^{\infty }(V+r_{j})\,}$, onde:

${\displaystyle V+r_{j}=\{x+r_{j}:x\in V\}\,}$

Vamos mostrar agora as inclusões:

${\displaystyle [0,1]\subseteq S\subseteq [-1,2]\,}$

Da forma como foi construído o conjunto, temos:

${\displaystyle V\subseteq [0,1]\,}$

Então, se ${\displaystyle x\in V\,}$ e ${\displaystyle r_{j}\in [-1,1]\,}$, vale ${\displaystyle x+r_{j}\in [-1,2]\,}$.

Agora, seja ${\displaystyle x\in [0,1]\,}$. Então, existe ${\displaystyle y\in V\,}$ tal que ${\displaystyle x\sim y\,}$, ou seja, ${\displaystyle x-y=r,\,r\in \mathbb {Q} \,}$.

Como ${\displaystyle x,y\in [0,1]\,}$, temos que ${\displaystyle r\in [-1,1]\,}$ e ${\displaystyle r=r_{j}\,}$ para algum ${\displaystyle j\,}$. Logo, ${\displaystyle x\in S\,}$.

Vamos mostrar agora que os conjuntos ${\displaystyle V+r_{j}\,}$ são disjuntos. Para tal, considere um elemento ${\displaystyle x\,}$ na intersecção de dois destes conjuntos:

${\displaystyle x\in \left(V+r_{i}\right)\cap \left(V+r_{j}\right)\,}$

Então:

${\displaystyle x=y+r_{i}=z+r_{j}\,}$ com ${\displaystyle y,z\in V\,}$

Logo:

${\displaystyle y-z=r_{j}-r_{i}\in \mathbb {Q} \Longrightarrow y\sim z\,}$

Como o conjunto de Vitali foi construído tomando apenas um elemento de cada classe de equivalência, ${\displaystyle y=z\,}$, o que implica ${\displaystyle r_{i}=r_{j}\,}$ e, portanto, ${\displaystyle i=j\,}$.

Finalmente, podemos provar que ${\displaystyle V\,}$ não é mensurável. Partimos da estimativa:

${\displaystyle \mu ([0,1])\leq \mu ^{*}(S)\leq \mu ([-1,2])\,}$

${\displaystyle 1\leq \mu ^{*}\left(\bigcup _{j=1}^{\infty }(V+r_{j})\right)\leq 3\,}$

Para terminar o resultado considere ${\displaystyle V\,}$ mensurável e observe que a medida de Lebesgue é ${\displaystyle \sigma }$-aditiva e invariante por translações. O que nos leva à seguinte expressão:

${\displaystyle 1\leq \sum _{j=1}^{\infty }\mu (V)\leq 3\,}$

O somatório é finito apenas se ${\displaystyle \mu (V)\,}$ for nulo, caso em que a soma é também nula e portanto inferior a 1.