Conjunto de partes

A família de todos os subconjuntos de um conjunto dado ${\displaystyle A}$ é chamado de conjunto de partes (ou conjunto potência) de ${\displaystyle A}$, denotado por ${\displaystyle {\mathfrak {P}}(A)}$ ou ${\displaystyle 2^{A}}$.^[1]

Se ${\displaystyle S}$ é o conjunto de três elementos ${\displaystyle \{x,y,z\}}$ a lista completa de subconjuntos de ${\displaystyle A}$ é:

• ${\displaystyle \{\}}$ (o conjunto vazio);
• ${\displaystyle \{x\}}$;
• ${\displaystyle \{y\}}$;
• ${\displaystyle \{z\}}$;
• ${\displaystyle \{x,y\}}$;
• ${\displaystyle \{x,z\}}$;
• ${\displaystyle \{y,z\}}$;
• ${\displaystyle \{x,y,x\}}$;

e portanto o conjunto de partes de ${\displaystyle A}$ é o conjunto de oito elementos:

${\displaystyle {\mathfrak {P}}(S)=\{\{\},\{x\},\{y\},\{z\},\{x,y\},\{x,z\},\{y,z\},\{x,y,z\}\}}$.

O número de elementos do conjunto de partes de ${\displaystyle A}$ é sempre maior que o número de elementos de ${\displaystyle A}$, mesmo no caso de ${\displaystyle A}$ ter um número infinito de elementos.

Se ${\displaystyle A}$ tem ${\displaystyle n}$ elementos, pode-se provar que ${\displaystyle {\mathfrak {P}}(A)}$ tem ${\displaystyle 2^{n}}$ elementos. No caso de ${\displaystyle A}$ ser um conjunto infinito, define-se ${\displaystyle 2^{|A|}=|{\mathfrak {P}}(A)|}$ (em que ${\displaystyle |A|}$ representa o número de elementos de ${\displaystyle A}$). Por outro lado, sendo ${\displaystyle \aleph _{0}=|\mathbb {N} |}$, também pode ser provado que ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=|\mathbb {R} |}$.

A hipótese do continuum especula se existe algum conjunto entre ${\displaystyle \mathbb {N} }$ e ${\displaystyle {\mathfrak {P}}(A)}$, ou seja, um conjunto com mais elementos que ${\displaystyle \mathbb {N} }$ e menos elementos que ${\displaystyle {\mathfrak {P}}(A)}$.

Na teoria dos conjuntos, em particular na sua formulação segundo os axiomas de Zermelo-Fraenkel, existe um axioma cuja finalidade é garantir a existência do conjunto das partes: o axioma da potência.

• Wikilivro — b:Matemática elementar/Conjuntos, com a demonstração de que ${\displaystyle {\mathfrak {P}}(A)}$ tem ${\displaystyle 2^{|A|}}$ elementos.

Referências