Conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer

Problemas do Prémio Millennium
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	Conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer

A conjectura de Birch e Swinerton-Dyer foi enunciada em 1965 e estabelece uma condição para que uma curva algébrica plana, f(x,y) = 0, definida sobre os racionais — isto é, com os argumentos x,y∈ℚ—, tenha infinitos pontos racionais —isto é, (x,y) solução de f(x,y) = 0, com x,y∈ℚ—, como por exemplo a circunferência.^[1]

Consequências da citada conjectura

A Conjectura de Birch-Swinnerton-Dyer está relacionada a outros dois problemas diofantinos famosos: o famoso problema fermatiano e a chamada Conjectura ABC [criada por David Masser e Joseph Oesterlé, em 1985].

Uma consequência da conjectura citada é a existência de um algoritmo para decidir se um dado número "n" é congruente ou não.

Caso particular de família paramétrica de pontos racionais

Uma família paramétrica de pontos racionais em curvas elípticas pode ser construída impondo uma relação linear entre as coordenadas. Por exemplo, considere

a curva elíptica

$y^{2}=x^{3}+ax+b$

Tomando $b=(t/k)^{2}$ , com $t$ inteiro e $k\neq 0$ , e impondo a relação $y-x=t/k$ , obtemos uma família de soluções racionais:

$x={\frac {1}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {1}{4}}-a+{\frac {2t}{k}}}}$

$y={\frac {1}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {1}{4}}-a+{\frac {2t}{k}}}}+{\frac {t}{k}}$

Cada escolha de sinal fornece um ponto racional na curva. Essa técnica é um exemplo de construção de famílias paramétricas de pontos racionais a partir de um ponto fixo e uma reta que passa por ele, conhecida na teoria das curvas elípticas.

Podemos construir uma família paramétrica de pontos racionais em curvas elípticas a partir de um ponto fixo e uma reta que passa por ele. Considere a curva elíptica:

$y^{2}=x^{3}+ax+b$

Tomando $b=\left({\frac {t}{k}}\right)^{2}$ , com $t$ inteiro e $k\neq 0$ , e impondo a relação linear $y-x={\frac {t}{k}}\Rightarrow y=x+{\frac {t}{k}}$ , obtemos uma subfamília de soluções racionais.

Substituindo $y=x+t/k$ na equação da curva:

$(x+{\frac {t}{k}})^{2}=x^{3}+ax+({\frac {t}{k}})^{2}$

Expandindo o lado esquerdo e simplificando os termos $(t/k)^{2}$ :

$x^{2}+2{\frac {t}{k}}x=x^{3}+ax$

Reorganizando:

$0=x^{3}-x^{2}+(a-2{\frac {t}{k}})x$

Fatorando $x$ :

$x(x^{2}-x+(a-2t/k))=0$

Assim, as soluções para $x$ são:

x = 0,
ou as raízes da quadrática $x^{2}-x+(a-2t/k)=0$ .

$x={\frac {1}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {1}{4}}-a+{\frac {2t}{k}}}}$

E, como $y=x+t/k$ , obtemos:

$y={\frac {1}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {1}{4}}-a+{\frac {2t}{k}}}}+{\frac {t}{k}}$

Observações importantes:

O ponto especial $(0,t/k)$ gera esta subfamília de pontos racionais.
O radicando $\Delta ={\frac {1}{4}}-a+2t/k$ deve ser não-negativo para soluções reais e um quadrado racional para soluções racionais.
Nem todos os pontos racionais da curva estão nesta forma; apenas aqueles que satisfazem $y-x=t/k$ .

Observação: Caso não se queira usar os parâmetros $t$ e $k$ , podemos escrever $t/k=\pm {\sqrt {b}}$ . Nesse caso, as fórmulas da subfamília de pontos racionais ficam:

$x={\frac {1}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {1}{4}}-a\pm 2{\sqrt {b}}}},\quad y=x\pm {\sqrt {b}}$

Assim, cada escolha de sinal fornece uma solução da curva elíptica $y^{2}=x^{3}+ax+b$ correspondente à família paramétrica original.

Essas equações fornecem uma família de pontos racionais sobre a curva elíptica, parametrizados por $t$ e $k$ .^[2]

Referências

↑ Wiles, Andrew (2006). "The Birch and Swinnerton-Dyer conjecture". In Carlson, James; Jaffe, Arthur; Wiles, Andrew. The Millennium prize problems. American Mathematical Society. pp. 31–44. ISBN 978-0-8218-3679-8.
↑ DUJELLA, Andrej. A parametric family of elliptic curves. Acta Arithmetica, 2000. Disponível em: <https://eudml.org/doc/207426>

[1] Wiles, Andrew (2006). "The Birch and Swinnerton-Dyer conjecture". In Carlson, James; Jaffe, Arthur; Wiles, Andrew. The Millennium prize problems. American Mathematical Society. pp. 31–44. ISBN 978-0-8218-3679-8.

[2] DUJELLA, Andrej. A parametric family of elliptic curves. Acta Arithmetica, 2000. Disponível em: <https://eudml.org/doc/207426>

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