Cofinalidade

Em matemática, especialmente na teoria da ordem e em teoria dos conjuntos, a cofinalidade de um conjunto parcialmente ordenado (A, ≤), cf(A), é o menor dos cardinais dos conjuntos parcialmente ordenados cofinais com (A, ≤) ^[1]. Dado um conjunto parcialmente ordenado (A, ≤), diz-se que um subconjunto B de A, B⊆A, é cofinal com A (com a ordem anterior restrita a B) se para cada a∈A existe um b∈B tal que a≤b^[2]. O conceito de cofinalidade foi introduzido por Felix Hausdorff em 1908^[3].

Seja ${\displaystyle \alpha >0}$ um ordinal limite. Uma sequência crescente ${\displaystyle \left\langle \alpha _{\xi }:\xi <\beta \right\rangle }$, com ${\displaystyle \beta }$ ordinal limite é dita cofinal com ${\displaystyle \alpha }$ se ${\displaystyle {\mbox{lim}}_{\xi \rightarrow \beta }\;\;\alpha _{\xi }=\alpha }$^[4].

De maneira similar, a cofinalidade pode ser definida para um ordinal limite ${\displaystyle \alpha >0}$ como um ordinal limite ${\displaystyle \beta }$:

${\displaystyle {\mathit {cf}}\left(\alpha \right)={\mbox{o menor ordinal limite }}\beta {\mbox{ tal que existe uma }}\beta {\mbox{-sequência }}\left\langle \alpha _{\xi }:\xi <\beta \right\rangle {\mbox{ com lim}}_{\xi \rightarrow \beta }\;\;\alpha _{\xi }=\alpha }$^[4].

O conjunto dos números naturais, ${\displaystyle \mathbb {N} }$ é cofinal com o conjunto dos números reais, ${\displaystyle \mathbb {R} }$, com a ordem usual desses conjuntos, pois para cada número real ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$, existe um número natural ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, tal que ${\displaystyle x\leq n}$. Da mesma maneira, o conjunto dos números racionais, ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, também é cofinal com ${\displaystyle \mathbb {R} }$ e todos esses conjuntos tem cofinalidade ${\displaystyle \omega }$.

O ordinal ${\displaystyle \omega +\omega }$ tem cofinalidade ${\displaystyle \omega }$, cf(${\displaystyle \omega +\omega }$)=${\displaystyle \omega }$, pois segundo a definição geral, ${\displaystyle \omega }$ é cofinal com ${\displaystyle \omega +\omega }$ e ${\displaystyle \aleph _{0}=\omega }$. Considerando a cofinalidade de ordinais, existe a ${\displaystyle \omega {\mbox{-sequência}}}$

${\displaystyle \left\langle \omega +n:n<\omega \right\rangle {\mbox{ com lim}}_{n\rightarrow \omega }\;\;(\omega +n)=\omega +\omega }$

De maneira análoga, ${\displaystyle {\mbox{cf}}\left(\aleph _{\omega }\right)=\omega }$, pois

${\displaystyle {\mbox{lim}}_{n\rightarrow \omega }\;\;(\aleph _{n})=\aleph _{\omega }}$

A cofinalidade tem as seguintes propriedades:

${\displaystyle {\mbox{cf}}({\mbox{cf}}(\alpha ))_{\;}\!\!={\mbox{cf}}(\alpha )}$^[2]

${\displaystyle {\mbox{cf}}(\alpha )_{\;}\!\!{\mbox{ é um}}}$ ${\displaystyle {\mbox{cardinal regular}}_{\;}\!\!}$${\displaystyle {\mbox{, para todo ordinal limite }}\alpha _{\;}\!\!}$^[5]

${\displaystyle {\mbox{Se }}\kappa _{\;}\!\!{\mbox{ é um cardinal infinito, então }}\kappa <\kappa ^{{\mbox{cf}}(\kappa )_{\;}}}$^[6]

Deste último obtemos:

${\displaystyle {\mbox{cf}}\left(2^{\omega }\right)>\omega }$^[7]

Referências

• HAUSDORFF, F. (1908). «Grundzüge einer Theorie der geordneten Mengen». Mathematische Annalen (em alemão). 65 (4): 435−505 

• JECH, Thomas (2006). Set theory (em inglês) 3a. ed. Berlin: Springer. ISBN 3-540-44085-2 

• KUNEN, Kenneth (1980). Set theory: an introduction to independence proofs (em inglês). Amsterdam: Elsevier. ISBN 0-444-86839-9